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Así que, sí, yo no pude hacer nada salvo observar que en el denominador es una progresión geométrica y en el numerador, $1^4+2^4+3^4+\cdots$.
Edit: no quiero la prueba de la divergencia o convergencia solamente la suma.

Answer 1

$$\sum_{n\geq 1}\frac{e^{nx}}{4^n} = \frac{e^x}{4-e^x} $ $ ya que es la suma de una progresión geométrica. Diferenciando cuatro veces con respecto a los $x$, $$\sum_{n\geq 1}\frac{n^4}{4^n}e^{nx} = \frac{256 e^x+704 e^{2 x}+176 e^{3 x}+4 e^{4 x}}{(4-e^x)^5}$ $ y evaluando en $x=0$,

$$\sum_{n\geq 1}\frac{n^4}{4^n}= \color{red}{\frac{380}{81}}.$$

Answer 2

Deje que

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} $$

Entonces la suma es

$$\left [\left (x \frac{d}{dx} \right )^4 f(x)\right ]_{x=1/4}$$

Answer 3

Tenga en cuenta que si tomamos un simple poder de la serie: $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ we can differentiate term-by-term to find a power series for its derivative, giving $$\frac{d}{dx}\left[f\right]=\sum_{n=0}^\infty na_n x^{n-1}$$To restore the power of $x$ to $n$ from $n-1$, consider we can multiply throughout by $x$ to yield $$x\cdot\frac{d}{dx}\left[f\right]=\sum_{n=0}^\infty na_n x^n$$ In general, if we have a power series $\suma a_n x^n$ we can differentiate and multiply by $x$ to give the power series $\sum na_n x^n$, so to get $\sum n^4 a_n x^n$ we can simply repeat this process another three times: $$\begin{align*}&f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\\\rightarrow\ &x \frac{df}{dx}=\sum_{n=0}^\infty na_n x^n\\\rightarrow\ &x\frac{d}{dx}\left(x\frac{df}{dx}\right)=\sum_{n=0}^\infty n^2 a_n x^n\\\dots\\\rightarrow\ &x\frac{d}{dx}\left(x\frac{d}{dx}\left(x\frac{d}{dx}\left(x\frac{df}{dx}\right)\right)\right)=\sum_{n=0}^\infty n^4 a_n x^n\end{align*}$$

Para condensar la expresión de la izquierda, podemos tratar esta operación -- diferenciar y luego se multiplica por $x$ -- como su propio operador $x\cdot\frac{d}{dx}$. El poder usando la notación para indicar la aplicación repetida $(x\cdot\frac{d}{dx})^{n}f=x\frac{d}{dx}(\dots (x\frac{df}{dx}))$ tenemos $$\left(x\cdot\frac{d}{dx}\right)^4f=\sum_{n=0}^\infty n^4 a_n x^n$$

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Ahora considere el $a_n=1$, dando la serie geométrica: $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n$$We know a closed-form for $f$, namely $$f(x)=\frac1{1-x}$$ We can then differentiate this expression and multiply by $x$, etc. the right number of times to get a closed-form expression for $\sum n^4 x^n$.

Una vez que tenemos una forma cerrada de expresión para $\left(x\cdot\frac{d}{dx}\right)^4 f$, siempre que la serie converge para $x=\frac14$, podemos evaluar dicha función en $x=\frac14$ para evaluar la serie en su post: $$\left(x\cdot\frac{d}{dx}\right)^4 f=\sum_{n=0}^\infty n^4 x^n\\\left[\left(x\cdot\frac{d}{dx}\right)^4 f\right]_{x=\frac14}=\sum_{n=0}^\infty \frac{n^4}{4^n}$$

Answer 4

\begin{align} n^4 = {} & \hphantom{{}+{}} An(n-1)(n-2)(n-3) \\ & {} + B n(n-1)(n-2) \\ & {} + C n(n-1) \\ & {} + D n \end {Alinee el} encontrar $A,B,C,D$. \begin{align} n^4 x^n & = An(n-1)(n-2)(n-3) x^n + \cdots \\[10pt] & = A\frac{d^4}{dx^4} x^n + B \frac{d^3}{dx^3} x^n + \cdots \end {Alinee el}

Luego agregar sobre todos los valores de $n$ y luego encontrar los derivados.

Por último, aplicar esto al caso donde $x=\dfrac 1 4$.