Principio de menos acción, extrañeza de simulación numérica

Question

Estoy tratando de conseguir un poco de experiencia con el mínimo principio de la acción, y para ello elegí un simple 1-dimensional problema de una partícula que se mueve en un cierto campo. Al menos el principio de la acción podría ser algo como:

$$\int_{t_1}^{t_2}(T(v)-U(x))dt=\min$$

Así que discretizar el tiempo en algunos puntos y tratar de minimizar la suma:

$$\sum_{i=1}^n (T(v_i)-U(x_i))\Delta t.$$

Pero me da en algunos resultados extraños: en primer lugar, si yo no limitar el sistema, la suma aparece sin límites desde abajo. Bueno, es comprensible, porque puede haber varias soluciones correspondientes a los diferentes inicial/condiciones de contorno. OK, yo elija algunos de los valores de $x_1$ $x_n$ como las restricciones. Pero incluso la suma aparece sin límites. Bueno, me, a continuación, elija para reducir la posible gama de $x_i$, y la suma que finalmente puede ser minimizado...

Pero el resultado parece una completa tontería. Aquí está el resultado para $n=10$, $t_1=0$, $t_2=1$, $|x_i|<5$:

Posiciones

Velocidades

Aquí velocidades no parecen reflejar el cambio de posiciones.

Lo que me estoy perdiendo aquí? Debo agregar algunas otras restricciones, o he hecho algo simple error?

Answer 1

Como se dijo en esta respuesta, la velocidad y la posición no varió de forma independiente. De hecho, cuando se derivan de Euler-Lagrange las ecuaciones, podemos utilizar explícitamente el hecho de que $\delta v=\frac d{dt}\delta x$.

Por eso, cuando me añade la restricción de $v_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{\Delta t}$, especificando $x_1$ $x_n$ sigue siendo la única cosa adicional para converger a la solución. Por ejemplo, la configuración de $U=x^4-4x^3+4.5x^2$, $x_1=0$, $x_n=2.651$ y $n=51$, me sale:

Posiciones:

Velocidades:

Aquí el último punto de la velocidad es malo, pero es un artefacto de la restricción: he usado una mano derecha de la diferencia finita de derivados, que no puede ser hecho por $v_n$. Esto puede ser solucionado con la elección de algún otro esquema de la diferencia, pero para los efectos de esta respuesta es un insignificante detalle de implementación.

Lo que es más importante, es que si elegimos $x_n>2.651$ en este ejemplo, la acción aparece sin límites desde abajo con la correcta restricciones. Creo que esto ya no es un problema en la implementación, sino más bien un resultado del hecho de que la acción tiene que ser estacionario, pero no mínima, por lo que la minimización no es un buen procedimiento para obtener una verdadera trayectoria.