Voy a seguir un enfoque algebraico, y para hacer referencia a Hatcher "Topología Algebraica", disponible en http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html.
Dado un mapa de $f : S^{n-1} \to S^{n-1} \simeq R^n - p$, podemos, como usted dice, medir su liquidación número como el homotopy clase $[f] \in \pi_{n-1}(S^n-1) \cong \mathbb{Z}$, pero vamos a tener que adaptar un poco para general hypersurfaces en lugar de esferas. Se pueden calcular de la misma serie con el inducido mapa de $f_* : \pi_{n-1}(S^{n-1}) \to \pi_{n-1}(S^{n-1})$, ya que es lineal en el mapa de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, que es simplemente la multiplicación por un número entero. Este entero es el mismo bobinado número, sólo de pensar a través de las definiciones. Podríamos calcular de manera similar en la homología, con $f_* : H_{n-1}(S^{n-1}) \to H_{n-1}(S^{n-1})$ siendo de nuevo la multiplicación por el mismo bobinado número, por la Hurewicz teorema sobre homotopy y homología de grupos (ver Hatcher Segundos 4.2).
La homología es conveniente, porque un general (compacto, orientado a) $(n-1)$-colector todavía ha $H_{n-1}(M) \cong \mathbb{Z}$. Así que con un $(n-1)$-colector $M$ y un mapa de la $f : M \to \mathbb{R}^n - p \simeq S^{n-1}$, la inducida por el mapa de $f_* : H_{n-1}(M) \to H_{n-1}(S^{n-1})$ es de nuevo un mapa de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ (después de la elección de los generadores, es decir, orientaciones), que es la multiplicación por un número entero, que es nuestra generalizado de la liquidación número. Se podría utilizar la inducida por el mapa en cohomology igual de bien (por el Universal Coeficiente de Teorema, Hatcher thm. 3.2, o similares).
Tenga en cuenta que nosotros también se puede sustituir el objetivo de $S^{n-1}$ diferentes $(n-1)$-colector. En esta generalidad, el número que estamos computing es usualmente llamado el "grado" en el mapa $f$. Estas definiciones aparecen en Hatcher, al inicio de la sección 2.2 para las esferas y, a continuación, en los ejercicios para obtener más general de los colectores.
Para la "típica" de un punto en el destino de $S^{n-1}$, la preimagen consta de un número finito de puntos en $M$. Esto equivale a la intersección $M \subset \mathbb{R}^n - p$ con un rayo de $p$. Hatcher muestra en la Prop. 2.30 que el grado puede ser calculada como la suma de los signos que se asocian a estos puntos, y se pueden calcular estas señales inducidas mapas locales de homología, lo que equivale a pensar acerca de la orientación. Así que hemos tendido (a) y (b) de la pregunta.
Voy a ser un poco breve en (c), pero como podemos calcular el grado a través de cohomology, se pueden calcular con formas diferenciales mediante el uso de De Rham cohomology. Como yo lo entiendo, el campo eléctrico determina un doble $(n-1)$-forma, que pasa a generar $H_{dR}^{n-1}(\mathbb{R}-p)$. Tenemos que tirar de esta vuelta a lo largo de $f$ al colector $M$, y mira lo que varios de los elegidos generador (volumen) en $H_{dR}^{n-1}(M)$ determina, que se calcula mediante la integración. Este se calcula la inducida por el mapa de $f^*$ en cohomology. Me imagino que Guillemin y Pollack es decente referencia, aunque no tengo a la mano.
