Relación entre formas diferenciadas y campos del Vector

Question

Estoy tratando de llegar a un entendimiento de cómo, precisamente, el espacio de formas diferenciales es relativa a la el espacio de campos vectoriales. Estas son las definiciones que entiendo y estoy utilizando para estos objetos: Deje $X$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$. Un campo de vectores $v$ $X$ es una correspondencia que asigna a cada punto de $p \in X$ a un elemento $v(p) \in T_pX$ el (geométrica) el espacio de la tangente $T_pX = \{(p, x) | x \in \mathbb{R}^n\}$. Una forma $\omega$ $X$ es una correspondencia que asigna a cada punto de $p \in X$ elemento $\omega(p) \in T^*_pX$, el espacio cotangente de $X$$p$, el cual es definido como el algebraicas dual del espacio de la tangente en $p$. Si $C^1(X)$ denota el conjunto de todos continuamente funciones diferenciables en $X$ podemos formar el anillo de $C^1$ funciones usando el estándar de pointwise la adición y la multiplicación de funciones. A continuación, podemos formar las dos $C^1(X)$-módulos $\mathcal{V}^1(X)$ $\Omega^1(X)$ cuyo subyacente grupos son el conjunto de todos los $C^1$ campos vectoriales en $X$ y todos los formas diferenciales en $X$, respectivamente.

Finalmente, ahora, puedo pedirle a mi pregunta: ¿cuál es la relación precisa entre los módulos de $\mathcal{V}^1(X)$$\Omega^1(X)$?

Mis pensamientos: me doy cuenta de que una forma diferenciada $\omega$ lleva un punto de $p$ a la cotangente del espacio en $p$ , mientras que un campo de vectores $v$ va a llevar el mismo punto de $p$ a el espacio de la tangente. En realidad no podemos formar el composición, per se de $\omega$ $v$ ya que ambos tienen el mismo dominio $X$ pero para $v(p) \in T_pX$ podemos evaluar $\omega(p)$ $v(p)$ desde el dominio de $\omega(p)$$T_pX$. Este se ve un poco como una doble vinculación; puede ser que $\Omega^1(X)$ $\mathcal{V}^1(X)$ dos módulos en algún sentido?

Answer 1

(A continuación, "espacio vectorial" yo siempre significa "finito-dimensional espacio vectorial real.")

Para $X$ cualquier espacio topológico existe una noción de un vector paquete de más de $X$ el que se formaliza la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizada por $X$. Vector de paquetes pueden ser organizados en una categoría similar a la categoría de espacios vectoriales (que se recupera mediante la toma de $X$ a ser un punto); en particular, se puede definir directa sumas, duales, y el tensor de productos de vector de paquetes.

Una noción importante aquí es que de una sección de un vector paquete, que es a grandes rasgos una elección continua de vector en cada espacio vectorial en la familia.

Si $X$ es un buen colector (en particular si $X$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$), entonces podemos definir un distinguido (suave) de paquete en $X$, la tangente bundle $T(X)$, procedentes de la tangente espacios en cada punto. El (suave) secciones de la tangente bundle son precisamente campos vectoriales en $X$. Hay un doble paquete de $T^{\ast}(X)$, la cotangente del paquete, cuyo (suave) secciones son precisamente las formas diferenciales en $X$.

De modo que la tangente y la cotangente paquetes son en realidad dual de paquetes, lo que significa que tienen una doble vinculación, y tomando secciones da una doble vinculación entre campos vectoriales y formas diferenciales.

Si además de la $X$ es compacto, entonces podemos hacer uso de la Serre-Swan teorema, que identifica vector de paquetes de más de $X$ con finitely generado módulos proyectivos sobre el ring $C^{\infty}(X)$ de las funciones lisas $X \to \mathbb{R}$. En este contexto creo que es cierto que el módulo de campos vectoriales y el módulo de formas diferenciales en dos, pero no he trabajado en los detalles.

Answer 2

Si usted necesita para el cálculo de las coordenadas locales con una métrica, necesita utilizar el isomorfismo musical. Usted puede tratarla puramente algebraico si quieres, pero si quieres hacer el cálculo en un real múltiple es necesario.