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Question

Quiero mostrar lo siguiente:

$ $ \forall x, \in \mathbb{R y}

$$ (x + y) ^ \leq 4 8 (x ^ 4 + y ^ 4) $$

¿Cuál es el alcance de generalisaion?

Editar:

Al parecer la desigualdad anterior puede demostrarse utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Alguien podría por favor elaborar, indicando los vectores que está utilizando en la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$\ \ \forall \ \ v,w \in V, $ un espacio de producto interno,

$$|\langle v,w\rangle|^2 \leq \langle v,v \rangle \cdot \langle w,w \rangle$$

donde $\langle v,w\rangle$ es un producto interno.

Answer 1

Desigualdad de Cauchy-Schwarz se aplican dos veces: $x^4 + y^4 \geq \dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2 \geq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\right)^2 = \dfrac{1}{8}\left(x+y\right)^4$.

Answer 2

Un resultado más general es ($x,y\geq 0$, $p\geq 1$) $$(x+y)^p \leq 2^{p-1} (x^p+y^p),$ $, que es consecuencia directa de la convexidad del $t\mapsto t^p$.

Answer 3

Si por el contrario consideras que $$\left( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} \right)^4$$ we know that the function $ (\cdot)^4$ is convex. This leads to: $$\left( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} \right)^4 \le \frac12 x^4 + \frac12 y^4$$

Multiplique ambos lados por $16$ y tenemos: $$(x+y)^4 \le 8x^4 + 8y^4.$ $

Este proceso funciona como $(\cdot)^p$ es convexa, que contiene precisamente cuando $p \ge 1$.

Puede mostrar que $(x+y)^p \le x^p + y^p$ cuando $p < 1$ por otros medios.

Answer 4

Con respecto a la edición, y la pregunta en el comentario, en virtud de OC-Sansoo la respuesta: (Si entiendo tu problema, quieres razonamiento para la elección de los vectores?)

Comience con el lado derecho de la desigualdad a la que nos quieren mostrar.

$$ 8\left(x^4+y^4\right) = \left(x^4+y^4\right)\left(2^2+2^2\right)$$ En el lado derecho tenemos ahora tienen los vectores $\vec{v}=(x^2,y^2)$$\vec{w}=(2,2)$.

Ahora aplicamos el CS de la desigualdad de la primera vez: $$ \left(2x^2+2y^2\right)^2 \leq \left(x^4+y^4\right)\left(2^2+2^2\right)$$ Hacemos el mismo procedimiento de nuevo con el LHS plazo en el soporte (el producto interior de los vectores $\vec{v}$$\vec{w}$): $$ 2x^2+2y^2= (1+1)(x^2+y^2)$$ Aquí tenemos los vectores $\vec{v}=(1,1)$$\vec{w}=(x,y)$.

La aplicación de CS de nuevo: $$ \left(x+y\right)^2 \leq (1+1)(x^2+y^2)$$

Ahora hemos terminado, ya $(x+y)^4\leq\left(2x^2+2y^2\right)^2$.

En una nota lateral: En su edición del CS de la desigualdad debe ser: $$|\langle v,w\rangle|^2 \leq \langle v,v \rangle \cdot \langle w,w \rangle$$

Answer 5

tenemos $8(x^4+y^4)-(x+y)^4=7x^4-4x^3y-6x^2y^2-4xy^3+7y^4=(7x^2+10xy+7y^2)(x-y)^2\geq 0$ esto es cierto.