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Mostrar a través de la regla de la cadena entonces $(u\cdot v)' = uv' + v'u$

Función sea $f(x)=u\cdot v$ donde % son $u$y $v$ $x$. Entonces ¿cómo hacer entender que $f'(x) = uv' + u'v $ solo usando regla de la cadena?

Mi intento: incluso creo que es posible, pero puedo equivocarme.

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Simple Art Puntos 745

Tenemos la regla de la cadena multivariante:

$$\frac d{dx}f(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{dv}{dx}$$

y $f(u,v)=u\cdot v$, obtenemos

$$\frac d{dx}u\cdot v=vu'+uv'$$

desde

$$\frac\partial{\partial u}u\cdot v=v$$

$$\frac\partial{\partial v}u\cdot v=u$$

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