Género de la desingularización de una curva plana

Question

Antecedentes

Me he planteado la siguiente pregunta. Sea $k$ sea un campo algebraicamente cerrado y consideremos una curva $C \subset \mathbb{P}^2$ . Calcule su género, es decir, el género de su normalización, utilizando datos "tan locales" como sea posible. Entiendo que la desingularización de las curvas planas es un tema antiguo, pero me gustaría seguir el siguiente enfoque.

Mi idea era utilizarlo para las curvas no singulares, $g = dim_k H^1(C, \mathcal{O}_C)$ y que para curvas planas arbitrarias $dim_k H^1(C, \mathcal{O}_C) = (d-1)(d-2)/2$ , donde $d$ es el grado. Es decir, consideramos el morfismo de normalización $\pi: C' \to C$ y tratar de relacionar los primeros grupos de cohomología. Se obtiene la siguiente fórmula, para una curva plana (singular) $C$ con normalización $\pi: C' \to C$ :

$g(C) = (d-1)(d-2)/2 - \sum_{P \in C} dim_k \frac{\mathcal{O}_{C',P}}{\mathcal{O}_{C,P}}$ .

Aquí $\mathcal{O}_{C',P}$ denota $(\pi_* \mathcal{O}_{C'})_P$ es decir, un cierto dominio semilocal dedekind.

Pregunta real

Deje que se haga lo mismo que en el caso anterior $k$ sea algebraicamente cerrado y $A$ sea el anillo local de una singularidad plana, es decir $A=(k[x,y]/(F))_{(x,y)}$ para algunos $F \in k[x, y]$ sin término constante. Sea $B$ sea su normalización, es decir, su cierre integral dentro de su campo de fracciones. Denotemos por $p$ el ideal máximo de $A$ . En varios ejemplos que he elaborado, existe un número entero $n$ tal que $p^n B \subset A$ . ¿Siempre es así?

Observaciones

Esto tendría la consecuencia deseable de que si ponemos $M = B/A$ entonces $\hat{M} = M$ donde hat denota la terminación. Por lo tanto, la cantidad de interés se puede obtener como $dim_k \hat{B}/\hat{A}$ lo que sugiere que es "muy local". He aquí una pregunta aún más atrevida: ¿puede $\hat{B}$ se obtenga de $\hat{A}$ ? Es decir, si $A_1$ , $A_2$ son dos anillos locales de singularidades planas y $\hat{A_2} \approx \hat{A_2}$ ¿aportan el mismo término al género? Si no es así, ¿qué pasa si exigimos el isomorfismo entre $\hat{A_1}$ y $\hat{A_2}$ provenga de un automorfismo de $k[[x, y]]$ ?

Son muchas preguntas. Me interesa sobre todo la primera (en cursiva), el resto son divagaciones de seguimiento.

Gracias, Tom

Answer 1

La respuesta a todas las preguntas es sí.

En primer lugar, dejemos que $f\in p$ sea un elemento no nulo. Entonces $A_f=\mathrm{Frac}(A)$ porque su único ideal primo si $0$ ( $A$ tiene dos ideales primos, uno de ellos, el máximo, contiene $f$ por lo que desaparece en $A_f)$ . Así que $B_f=A_f$ y para cualquier $b\in B$ , $f^nb\in A$ para alguna potencia de $f$ . Como $B$ está generada finitamente sobre $A$ (como módulo), podemos elegir el mismo $n$ para todos los elementos de $B$ .

Para la segunda pregunta, observe que la normalización de $\hat{A}$ es $\hat{B}$ .