Superestructura con sistemas como entidades de base atómica

Question

Surgió esta pregunta, mientras que el aprendizaje no estándar de análisis.

La superestructura $V(X)$ de un conjunto no vacío $X$ se define de forma recursiva:

$$\begin{align*}V_0(X) &= X \\ V_{i+1}(X) &= V_i(X) \cup P(V_i(X)) \\ V(X) &= \bigcup_{i=0}^\infty V_i(X)\;, \end{align*}$$

donde $i \in \mathbb{N}$ $P$ es el powerset función. Así que una manera de conseguir que cada relación y la función en $X$ que usted podría desear, identificando el par ordenado $(a,b)$, con el set de $\{\{a\},\{a,b\}\}$ o tal. Yo estoy muy bien con esto.

PERO ¿qué sucede cuando hay relaciones en $X$ (como miembros de $X$)? Creo que la necesidad de distinguir entre las relaciones que se forman por la superestructura de la construcción y de las relaciones que yo podría haber empezado en $X$. Como ejemplo, un problema, yo quiero probar (mi libro dice que es verdadera) de que una relación $R$ $V(X)$ fib el dominio y el rango de $R$$V(X)$. Esto es no es necesariamente cierto si $R$$X$. Los miembros de $X$ que tienen los miembros de sí mismos no necesariamente vacía.

Así que se supone que vamos a distinguir entre las relaciones en $X$, y las relaciones que se forman a partir de $X$?

Saludos, Rachel

Answer 1

Sólo una nota para complementar la de Rachel propia respuesta: una manera formal para eludir este problema es restringir la atención a base de conjuntos -- conjuntos de $X\neq\emptyset$ tal que para cualquier $x\in X$, $x\cap V(X)=\emptyset$. Simplemente se elimina el problema de los "extras " pertenencia" por siempre la construcción de la superestructura sobre la base de conjuntos.

A continuación, los individuos en relación a $V(X)$ son todos los elementos en $X$, y los de $V(X)\setminus X$ se establece en relación a $V(X)$.

Esto plantea la cuestión de cómo reemplazar un conjunto por un conjunto de base de la misma talla. Un método consiste en tomar un conjunto de $X$ de la misma cardinalidad como nuestro conjunto original, pero de tal forma que cada elemento en $\bigcup X$ tiene el mismo rango de $\alpha$, $\alpha$ fijos infinito ordinal. Entonces, uno puede mostrar que para cualquier $n$ si $x\in V_{n}(X)$,$rank(x)\neq\alpha$. Así que no $V_{n}(X)$ puede compartir cualquier elemento con cualquier $x\in X$, ya que cada una de las $y\in x\in X$ rango $\alpha$. Esto significa que $x\cap V(X)=\emptyset$ cualquier $x\in X$, y por lo $X$ es un conjunto de base.

Así es como las cosas se presentan en el 2012 reimpresión de Chang & Keisler del Modelo de Teoría: véase la sección 4.4.

Answer 2

He visto la respuesta a esto en varios libros ahora. El problema se trata, simplemente, por el tratamiento de los miembros de X como "átomos". Incluso si usted sabe (desde el exterior, siendo que todo lo sabe) que X contiene conjuntos no vacíos, se declara que los miembros de X no tienen por sí mismos los miembros en el mismo sentido que los conjuntos construidos a partir de X tienen miembros. Usted puede hacer esto mediante la distinción entre relaciones de pertenencia o simplemente pretender que los miembros de X no son conjuntos.

Answer 3

No está claro qué quiere decir con "una relación en $ X $". ¿Te refieres a una relación *en* $ X $? Si es así, una relación en un conjunto $ X $ generalmente se define como un subconjunto de a $ X \times X $, y el uso de la definición de esta que se dieron a sí mismos, es decir, el conjunto de todos los $\{\{a\},\{a,b\}\}$ todos los $ a, b \in X $, entonces cualquier relación en $ X $ es, como un conjunto de pares ordenados, un subconjunto de el juego de poder de el juego de poder de $ X $, y su dominio y rango de ambos son subconjuntos de $ X $ y, por lo tanto, un subconjunto y de un elemento de $ V(X) $.

Si, por otro lado, la media de una relación $ R \in X $, entonces, ciertamente, ni el dominio o el rango necesario ser un elemento o subconjunto de $ V(X) $. Un ejemplo sencillo podría ser $ R = S \times S $ algunas $ S $$ X = \{R\} $. Entonces, claramente, $ dom(R) = range(R) = S \notin V(X) $$ S \not\subset V(X) $.

Por último, si te refieres a $ R \subset X $, entonces, por definición, $ R \in P(X) \subset V(X) $, y por supuesto para todos los $ r \in R \Longrightarrow r \in V(X) $, pero en general, $ dom(R) \notin V(X) $. Por ejemplo, tome $ X = R = S \times S $ para algunos no trivial establecer $ S $. A continuación, $ dom(R) = S $ no es un elemento ni un subconjunto de a $ X $ y por lo tanto no $ V(X) $.

Es posible que los dos de aquellos casos en los que el dominio y el rango son los elementos o subconjuntos de a $ V(X) $, lo que depende de si ellos fueron los elementos o subconjuntos de a $ X $. Por ejemplo, para cualquier relación $ R $ podemos definir $ X = R \cup dom(R) \cup range(R) $.