Si existe $\lim_{x \to \infty}f(x)$ $\lim_{x \to \infty}f′(x)=0$

Question

Que $f: [0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$, donde $\lim_{x \to \infty}f(x)$ existen, mostrar que $\lim_{x \to \infty}f′(x)=0$

Este hecho es claramente intuitivo para mí pero no podía escribir una demostración rigurosa de esta.

Answer 1

El hecho es falso. Aquí es un contraejemplo:

Puede suavizar las esquinas para que $f'(x)$ se define por todas partes, pero alterna entre $+1$y $-1$, así que no tiene límite de $x\to \infty$. Mientras tanto, $f(x)$ es exprimido entre curvas que se acercan a cero, así $f(x)\to 0$.

Answer 2

Esto parece intuitivo a primera vista, pero no es cierto. Considere la siguiente función:

$$f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x+1}$$

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Para hacer esto más fácil de ver, considerar en su lugar el correspondiente ejemplo $g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$:

$$g(x) = \frac{\sin(x^2)}{x}$$

Y un derivado de la computación:

$$g'(x) = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}$$

Ciertamente, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = 0$, % y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} g'(x)$ no existe.

El ejemplo anterior fue construido sobre éste para que se definirá en $x = 0$.

Answer 3

En primer lugar creo que la hipótesis necesaria es $f'(x)$ existen para todos los $x\in[0,\infty)$ de lo contrario el conterexamples se dan en otras respuestas. Aquí es otro, $f(x)=\frac{1}{x}$ al $x$ es racional y $0$ al $x$ es irracional, la función es discontinua en todas partes(por lo tanto no derivado de existir) pero satisface sus criterios.

Suponga $f'(x)$ existen en todas partes, vamos a $lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=a>0$. Podemos probar a $lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$, para un determinado $\epsilon=\frac{a}{2}>0$, podemos encontrar $\delta>0$ tal que $x>\delta$ implica $f'(x)>a-\epsilon=\frac{a}{2}>0$. Sabemos función continua($f'$ existe por lo tanto, f continua) es integrable y tenemos $$f(\delta+\gamma)=f(\delta)+\int_{\delta}^{\delta+\gamma}f'(x)dx>f(\delta)+\frac{a\gamma}{2}$$ for any $\gamma>0$. This implies $f(x)$ can be arbitrary large for large enough $x$, and that's what $lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$ significa.

La prueba de los casos de $a<0$ o $a=\pm\infty$ son similares.