La ecuación de onda se puede escribir como $\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$ donde $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión en el espacio de Minkowski, $\varphi$ no necesita ser invariante de Lorentz. $\partial_i\partial^i\varphi = 0$ es la ecuación de Laplace en ambos Minkowski y el espacio Euclidiano desde ordinarias derivadas parciales no respetan la métrica.
En la (pseudo)geometría de Riemann la derivada covariante $\nabla_i$ reemplaza parciales $\partial_i$.
La de Laplace-Beltrami operador
$$\Delta \triangleq \nabla^i\nabla_i$$
es común que la generalización de ambos el D'Alembertian y el Laplaciano,
$$\Delta \varphi = 0$$
es la de Laplace-Beltrami ecuación.
Su observación a continuación se generaliza a decir que, para escalar campo, una fuga de Laplace-Beltrami operador es el mismo como una divergencia libre contravariante de gradiente. Este es universalmente válido, ya que
$$\Delta \varphi = \nabla^i\nabla_i\varphi = g^{ij}\nabla_i\nabla_j\varphi= \nabla_i\nabla^i\varphi$$
No depende de la métrica o sistema de coordenadas.
Sin embargo, la precisión geométrica significado de esto depende de la métrica.
En Euclidiana espacios que significa que una función es armónica de la fib tiene una divergencia libre gradiente desde el Laplace-Beltrami operador es sólo el Laplaciano.
En el espacio de Minkowski la de Laplace-Beltrami operador es el D'Alembertian,
y la de Laplace-Beltrami ecuación se convierte en la ecuación de onda. En el espacio de Minkowski covariante derivados son comunes derivadas parciales, como en el espacio Euclidiano, ya que no hay curvatura, haciendo de símbolos de Christoffel se desvanecen.
Además para escalares
$$\nabla_i \varphi = (d\varphi)_i = \partial_i\varphi$$
es cierto en todas las métricas.
Sin embargo, el contravariante derivado $\nabla^i\varphi$ no es el habitual del vector gradiente desde el índice de recaudación depende de la métrica.
El gradiente es, por tanto, de la forma más natural considerado como un covector o una 1-forma.
Geométricamente la Minkowski gradiente de vectores son el tiempo de reflexiones de lo que la distancia Euclídea gradiente de vectores sería.
No tengo una buena imagen intuitiva de contravariante de derivados y de sus divergencias, en general, no Euclídea espacios, aunque.
Tenga en cuenta que para
$$\varphi \triangleq t^2 + x^2$$
en el espacio Euclidiano
$$\nabla_i\nabla^i\varphi = 4$$
mientras que en el espacio de Minkowski
$$\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$$
lo que es una solución a la ecuación, aunque no es invariante Lorentz.
Un general de campo vectorial $J^i$ puede satisfacer $\nabla_i J^i = 0$, pero todavía no cero curl o, de forma más general,$\nabla_{[i} J_{j]} \neq 0$. Un campo no es un gradiente de un campo escalar. Así al menos lo $\nabla_{[i} J_{j]} = 0$ es necesario. El lema de Poincaré dice que esto es suficiente para los campos en contráctiles subconjuntos del espacio Euclidiano.
