¿Cómo ver que $\ker\left((X,Y)\otimes_R(X,Y)\to(X,Y)^2\right)\simeq k$ $R=k[X,Y]$?

Question

Deje $k$ ser un campo, $R=k[X,Y]$$I=(X,Y)$, por lo que el $R/I\simeq k$. He demostrado, mediante una resolución proyectiva de $k$,$\text{Tor}^R_2(k,k)= k$. También demostró que, en general, $$ \text{Tor}^A_2(a/I,A/J)=\ker(I\otimes_AJ\a IJ) $$ donde $I,J$ son ideales en un anillo conmutativo $A$. Cuando se trata de ver esto mediante el cálculo de $\ker(I\otimes_AJ\to IJ)$$A=R$$I=J=(X,Y)$, sin embargo, llego a un callejón sin salida.

Desde $X,Y$ generar $I$, $\{X\otimes X,X\otimes Y,Y\otimes X,Y\otimes Y\}$ es un sistema de generadores de $I\otimes_R I$. En particular, $\alpha=X\otimes Y - Y\otimes X \in \ker(I\otimes_RI\to I^2)$ desde $\alpha \mapsto XY-YX=0$. Pero, a continuación, $\forall f\in R$ tenemos $I\otimes_R I \ni f\alpha \mapsto f\cdot(XY-YX)=0$, lo $R\alpha\subseteq\ker(I\otimes_RI\to I^2)$. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Edit: @GeorgesElencwajg aclarado mi duda, aunque todavía no veo cómo probar que $\ker(I\otimes_RI\to I^2) = k$ sin el uso de álgebra homológica.

Answer 1

Le falta de nada: no hay realmente ninguna contradicción .
Lo que podría confundir es que $R\alpha =\ker(I\otimes_AJ\to IJ)$ parece enorme, del orden de magnitud de $R$, pero eso es una ilusión.
Por ejemplo, $X^2\otimes _R Y-X\otimes _R XY$ es, sin duda, en $\ker(I\otimes_AJ\to IJ)$, pero en realidad es cero debido a que $X^2\otimes _R Y=X\otimes _R XY$: el elemento $X$ puede saltar desde la izquierda de $\otimes _R$ a su derecha por $R$-bilinearity del producto tensor.
Y esto ilustra por qué artificiales expresiones como $X\otimes _R Y-X\otimes _R Y+X^2\otimes _R Y-X\otimes _R XY $ realidad no agrandar $\ker(I\otimes_AJ\to IJ)$.

Una palabra de advertencia, sin embargo : no saltar demasiado lejos!
Por ejemplo, usted podría intentar forzar $X$ $Y$ a saltar hacia adelante y hacia atrás como esta: $$X\otimes _R Y=1\otimes _R XY=Y\otimes _R X \quad \text {(NO!)}$$ and conclude that $$X\otimes_R Y-Y\otimes _R X=0 \quad \text {(NO!)}$$ pero esto es falso. ¿Por qué?