¿Si $X$ lognormally se distribuye, cuál es la distribución de los $1 / (1 + X)$?

Question

Ser lognormal con parámetros % que $X$ $\mu$y $\sigma$ (que es gaussiana con media $\log(X)$y varianza $\mu$ $\sigma^2$).

¿Cuál es la distribución de los $1 / (X + 1)$? Me pregunto si es una "simple" distribución paramétrica. Si el + 1"fueron substituidos por cero, el problema se vuelve muy fácil.

Answer 1

Para cerrar esta:

Queremos que el pdf de la variable

$$Z = g(X) =\frac 1{X+1} \Rightarrow X = g^{-1}(Z)=\frac 1Z -1 \Rightarrow \frac {\partial g^{-1}(z)}{\partial z}=-\frac 1{z^2}$$

Tenga en cuenta que por la construcción de $0 \leq Z \leq 1$.

La densidad de la log-normal es conocido. Aplicando el cambio de variable de la fórmula obtenemos

$$f_Z(z) = \left|\frac {\partial g^{-1}(z)}{\partial z}\right|\cdot f_X(g^{-1}(z))$$

$$=\frac 1{z^2}\cdot\frac{1}{[(1-z)/z]\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{ \left\{-\frac{\left(\ln[(1-z)/z]-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}}$$

$$\Rightarrow f_Z(z) = \frac{1}{(1-z)z\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{ \left\{-\frac{\Big(\ln[z/(1-z)]-(-\mu)\Big)^2}{2\sigma^2}\right\}}$$

cual es la densidad de la "logit-normal" de distribución con parámetros de $\sigma$$-\mu$.