El conjunto canónico sobre una superficie de Riemann

Question

Estoy tratando de entender un ejemplo de una línea de paquete a través de una superficie de Riemann; como es muy concisa y breve, tengo un montón de problemas. Está escrito en el bloque de citas a continuación, y me preguntas como me vaya.

La canónica bundle $K$ a través de una superficie de Riemann $M$ es la cotangente paquete, o el paquete de holomorphic $1$-formas. Supongamos que tenemos las coordenadas locales $z$ $w$ con $$ w(z) = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1} (z) $$ una función de $z$ en la superposición.

Pregunta 1: ¿Qué se entiende por "$w(z) = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1} (z)$ una función de $z$ en el solapamiento"? ¿Por qué es una función de $z$? No entiendo esta ecuación.

El $1$formas de $dz$ $dw$ dar local como banalizaciones de la canónica de paquete, y en la superposición $$ dw = w'dz. $$

Pregunta 2: ¿cómo se $dz$ $dw$ son locales como banalizaciones? No $dz$ a un punto de un mapa del espacio de la tangente a $\mathbb{C}$? Y cómo es esta relación obtenida?

Por lo tanto, la transición de las funciones de se $dw/dz$ donde $w = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1}$.

Pregunta 3: ¿Qué significa "dw/dz" significa?

Answer 1

Hay muchos abusos de la lengua en este tema y con el fin de ayudar a los que voy a describir un par de cosas completamente rigurosamente.

Deje $(U,\phi_\alpha)$ $(V,\phi_\beta)$ ser dos gráficos (=coordenadas locales) de su superficie de Riemann $X$$P\in X$$P\in U\cap V$.
La superposición es $\phi_\alpha(U\cap V)\subset \mathbb C$ y tiene un holomorphic isomorfismo $w: \phi_\alpha(U\cap V)\to \phi_\beta(U\cap V):z\mapsto w(z)$, que responde a la Pregunta 1.

Si definimos $z_0=z(P)$, se puede calcular la derivada $w'(z_0)=\frac {dw}{dz}(z_0)\in \mathbb C$ y esto responde a la Pregunta 3.

Por último, desde un holomorphic función de $\mathbb \phi$ definida en una vecindad de a $P$ tiene un diferencial que es una forma lineal $d\phi(P):T_P(X)\to \mathbb C$, se obtienen dos lineal formas $d{\phi_\alpha} (P),d{\phi_\beta} (P):T_P(X)\to \mathbb C$.
Son iguales? No, en absoluto! Ellos están relacionados por $$d{\phi_\beta} (P)=w'(z_0)\cdot d{\phi_\alpha}(P) \in T_P^*(X)$$ una igualdad en la fibra de la cotangente del paquete en $P$ que respuestas (espero!) su Pregunta 2.