Me gustaría que me ayudaran a decidir si la siguiente integral converge o no y en qué condiciones: $\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}$ .
1. En primer lugar, quería utilizar el criterio de Dirichlet: dejemos $f,g: [a,w) \to R$ función integrable, $f$ es monótona y $g$ es continua y $f \in C^1[a,w]$ . Si además de estas condiciones, $G(x)=\int_{a}^{x}g(t)$ está acotado y $\lim_{x \to w}f(x)=0$ así que $\int_{a}^{x}fg$ converge. Puedo elegir $f=\frac{1}{x}$ y $g(x)=\sin x$ (¿no es así?) entonces, ¿por qué no puedo usar Dirichlet para esta integral?
2. He utilizado Wolfarm|Alpha y dice que $\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$ sí converge a $\frac\pi2$ .¿es sólo una convergencia condicional? (y si es así, ¿se cuenta como no convergencia?)
3. Me dijeron que esta integral no converge absolutamente, es decir $\int_{1}^{\infty}\frac{|\sin x|}{x}dx$ no converge, ¿Cómo puedo demostrarlo?
Muchas gracias.