5 votos

Problemas con $\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x }dx$ convergencia

Me gustaría que me ayudaran a decidir si la siguiente integral converge o no y en qué condiciones: $\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}$ .

1. En primer lugar, quería utilizar el criterio de Dirichlet: dejemos $f,g: [a,w) \to R$ función integrable, $f$ es monótona y $g$ es continua y $f \in C^1[a,w]$ . Si además de estas condiciones, $G(x)=\int_{a}^{x}g(t)$ está acotado y $\lim_{x \to w}f(x)=0$ así que $\int_{a}^{x}fg$ converge. Puedo elegir $f=\frac{1}{x}$ y $g(x)=\sin x$ (¿no es así?) entonces, ¿por qué no puedo usar Dirichlet para esta integral?

2. He utilizado Wolfarm|Alpha y dice que $\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$ sí converge a $\frac\pi2$ .¿es sólo una convergencia condicional? (y si es así, ¿se cuenta como no convergencia?)

3. Me dijeron que esta integral no converge absolutamente, es decir $\int_{1}^{\infty}\frac{|\sin x|}{x}dx$ no converge, ¿Cómo puedo demostrarlo?

Muchas gracias.

8voto

Brian G Puntos 8580

Jonas Meyer ya ha señalado un enlace donde se discuten las propiedades de esta integral. Sin embargo, me gustaría mostrar una prueba alternativa de que esta integral no converge absolutamente (lo vi en Análisis I/II de Zorich y no parece tan conocido como debería ser, en mi opinión):

La idea es sencilla. Primero vemos que el único problema de convergencia está en $\infty$ ya que $\frac{\sin(x)}{x}$ es continua en $0$ .

Ahora $0\le |\sin(x)| \le 1$ implica

$$\frac{|\sin(x)|}{x} \ge \frac{\sin^2(x)}{x}$$

Y observamos que $\int_1^\infty \frac{\sin^2(x)}{x}dx$ debería tener esencialmente las mismas propiedades de convergencia que $\int_1^\infty \frac{\cos^2(x)}{x}dx$ (con un poco de mano en este punto). Pero si esto es cierto, entonces $\int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{x}dx$ converge si y sólo si $$\int_1^\infty \left(\frac{\sin^2(x)}{x}+ \frac{\cos^2(x)}{x}\right) dx = \int_1^\infty \frac{dx}{x}$$ converge. Esto último claramente no es cierto, por lo que $\int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{x}dx$ tampoco converge.

Más formalmente, tenemos

$$ \begin{align} \int_0^\infty \frac{|\sin(x)|}{x} dx &\ge \int_{\pi/2}^\infty \frac{\sin^2(x)}{x} dx \\ &= \int_{0}^\infty\frac{\cos^2(x)}{x+\pi/2} dx \\ \end{align} $$

Por lo tanto,

$$ \begin{align} \int_0^\infty \frac{|\sin(x)|}{x} dx &\ge \frac12 \int_0^\infty \left(\frac{\sin^2(x)}{x} + \frac{\cos^2(x)}{x+\pi/2} \right)dx \\ &= \frac12\int_{0}^\infty\left(\frac{1}{x+\pi/2} + \frac{\frac\pi2 \sin^2(x)}{x(x+\pi/2)} \right) dx \\ &\ge \frac12 \int_{0}^\infty\frac{1}{x+\pi/2} dx \\ &= \infty \end{align} $$

0voto

Adit Daftary Puntos 72

Puedes hacer integración por patrs a la integral de 1 a t, y a la integral que aparece en el camino puedes hacer convergencia absoluta. De esta forma puedes demostrar la convergencia ya que el primer término por partes tiene límite finito y la integral que aparece en el desarrollo de las partes es convergente como he escrito.

0voto

Louis Puntos 329

Una buena forma visual de ver que no converge absolutamente es observando los triángulos bajo cada "joroba" de $\frac{|sin(x)|}{x}$ . Asegúrate de que la base de cada triángulo va desde $\pi n$ a $\pi (n+1)$ en el eje x, y el tercer punto va a $(\pi(n+\frac{1}{2}),\frac{sin(\pi(n+\frac{1}{2}))}{\pi(n+\frac{1}{2})})$ . Entonces el área bajo cada triángulo es

$\frac{sin(\pi/2)/2}{n+\frac{1}{2}}$

que decae como $\frac{1}{n}$ y por lo tanto no es sumable.

Para saber si converge condicionalmente, pienso en ello como en la condición de serie alterna: al romper cada joroba, vemos que los signos se alternan y los valores absolutos de las áreas disminuyen.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X