Si $|z^2-1|=|z|^2+1$, muestra que el $z$ se encuentra en el eje imaginario

Question

Si $|z^2-1|=|z|^2+1$, ¿cómo mostramos que $z$ se encuentra en el eje imaginario?

Entiendo que fácilmente puedo hacerlo si sustituya $z=a+ib$. ¿Cómo solucionamos usando álgebra de números complejos sin la sustitución antedicha?

Mi intento: $$ | z | ^ 2 + | 1 | ^ 2 = | z-1 | ^ 2 + 2\mathcal {Re} (z) = | z ^ 2-1 | \\ 2\mathcal {Re} (z) = | z ^ 2-1 |-| z-1 | ^ 2 = | (z + 1) (z-1) |-| z-1 |. | z-1|\\=|z+1|.| z-1 |-| z-1 |. | z-1 | $$ ¿Cómo seguir adelante y probar $\mathcal{Re}(z)=0$?

Answer 1

Utilice el hecho de que $|z|^2 = z\bar{z}$.

Cuadratura de ambos lados de la igualdad dada producciones\begin{align} |z^2-1|^2 &= (z\bar{z} + 1)^2\\ (z^2 - 1)(\bar{z}^2 - 1) &= (z\bar{z} + 1)(z\bar{z}+1)\\ z^2 + 2z\bar{z} + \bar{z}^2 &= 0\\ (z + \bar{z})^2 &= 0\\ z = -\bar{z} \end{align} de que sigue que es de la parte real de $z$ $0$. (Me salté algunos pasos de álgebra simple arriba.)

Answer 2

En % de la desigualdad de triángulo $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$tenemos igualdad iff $z_1=0$ o hay un $\alpha\geq 0$ $z_2=\alpha z_1$. Entonces, $$|z^2-1|=|z|^2+1\Leftrightarrow |z^2+(-1)|=|z^2|+|-1|$$ $$\Leftrightarrow z^2=\alpha (-1)\le 0\Leftrightarrow z=\pm\sqrt{\alpha}i$$ so, $$ %z pertenece al eje imaginario.