¿Cómo simplificar $\tan{\arcsin{\frac{y}{R}}/2}$?

Question

Yo he verificado con Mathematica que $R>0, y \in \mathbb{R}$:

$$ \tan{\frac{\arcsin{\frac{y}{R}}}{2}} = \frac{R - \sqrt{R^2 -y ^2}}{y}$$

utilizando

Assuming[Element[y, Reals] && R > 0, 
 FullSimplify[TrigToExp[Tan[ArcSin[y/R]/2]]]]

¿Cómo puedo probar este withouse con logaritmos y exponenciales complejas?

Answer 1

Crear un triángulo rectángulo con lados de $x,y$, y la hipotenusa $R$. En el diagrama de abajo, $\phi = \arcsin(y/R) / 2$, por Lo que usted está buscando para encontrar $\tan \phi$ en términos de$R$$y$.

Para este propósito, usted puede encontrar el teorema de la bisectriz de un ángulo útil, ya que te dice cómo las dos secciones de $y$ están relacionados con: $$\tan \phi = \frac{y_1}{x}=\frac{y_2}{R}$$ O que: $$y_1 = \left(\frac{R}{x}+1\right)^{-1}y \quad\longrightarrow\quad \tan \phi=\frac{y}{\sqrt{R^2-y^2}+R}$$ Ahora multiplica el denominador por el conjugado para obtener su resultado.

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

Answer 2

Deje $\displaystyle\arcsin\frac yr=\phi\implies \sin\phi=\frac yR\ \ \ \ (1)$

y se basa en la definición de valor principal, $\displaystyle-\frac\pi2\le\phi\le\frac\pi2\ \ \ \ (2)$

Por lo tanto, tenemos que encontrar la $\displaystyle\tan\frac\phi2$

El uso de Weierstrass de sustitución, $\displaystyle\sin\phi=\frac{2\tan\frac\phi2}{1+\tan^2\frac\phi2}$

Así, el uso de $\displaystyle(1),\frac{2\tan\frac\phi2}{1+\tan^2\frac\phi2}=\frac yR\implies y\tan^2\frac\phi2-2R\tan\frac\phi2+y=0\ \ \ \ (3)$

La solución de la Ecuación Cuadrática para $\displaystyle\tan\frac\phi2=\frac{R\pm\sqrt{R^2-y^2}}y$

Ahora el uso de $\displaystyle(2), -\frac\pi4\le\frac\phi2\le\frac\pi4\implies -1\le\tan\frac\phi2\le1$

Observar que para el real $\displaystyle\phi, R^2\ge y^2\implies R\ge |y|$ $R>0$

Si $\displaystyle R=|y|,\tan\frac\phi2=\pm1$ donde tanto las raíces son las mismas

Otra cosa $\displaystyle\frac{R+\sqrt{R^2-y^2}}{|y|}> \frac R{|y|}>1,$ por lo tanto, deben ser desechadas.

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Observar que si $\displaystyle\tan\frac{\phi_1}2,\tan\frac{\phi_2}2$ son las raíces de $(3),$

el uso de Vieta de la fórmula, $\displaystyle\tan\frac{\phi_1}2\tan\frac{\phi_2}2=1$

$\displaystyle\implies\tan\frac{\phi_1}2=\frac1{\tan\frac{\phi_2}2}=\cot\frac{\phi_2}2=\tan\left(\frac\pi2-\frac{\phi_2}2\right)=\tan\frac{\pi-\phi_2}2$

$\displaystyle\implies\frac{\phi_1}2=\frac{\pi-\phi_2}2\iff\phi_1=\pi-\phi_2 $

$\displaystyle\implies\sin\phi_1=\sin\left(\pi-\phi_2\right)=\sin\phi_2 $

También, $\displaystyle\sin\phi=\frac{2\tan\frac\phi2}{1+\tan^2\frac\phi2}=\frac{2\cot\frac\phi2}{1+\cot^2\frac\phi2}$ (multiplicando el numerador y el denominador por $\displaystyle\cot^2\frac\phi2$)