Demostrar que $\lim_{t\to \infty} t\mu(\{x:f(x)\geq t\})=0$

Question

Problema

Supongamos que $f$ es una función integrable no negativa en un espacio de medidas $(X,\mathcal{A},\mu).$ Demostrar que $$\lim_{t\to \infty} t\mu(\{x:f(x)\geq t\})=0$$

Intento

Dejemos que $E_t=\{x:f(x)\geq t\}$ Tenga en cuenta que $f\chi_{E_t}\leq f$ . Desde $f$ es integrable, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue nos dice que $$\lim_{t\to\infty} \int f\chi_{E_t}\rightarrow \int \lim_{t\to\infty} f\chi_{E_t}=0,$$ desde $\lim_{t\to\infty} f\chi_{E_t}=0$ a.e. $\ ^{(1)}$ El resultado se desprende del hecho de que $$t\mu(E_t)\leq\int f\chi_{E_t}.$$

Pregunta

Tengo problemas para probar $(1)$ . Es decir, cómo puedo demostrar que $f\chi_{E_t}\rightarrow 0$ ¿a.e?

Answer 1

Supongamos que $x\in X$ es tal que $f(x)<\infty$ . Entonces, para $t>f(x)$ , uno tiene que $x\notin E_t$ o $\chi_{E_t}(x)=0$ . Por lo tanto, $\lim_{t\to\infty}f(x)\chi_{E_t}(x)=0$ . Esto demuestra que $$\{x\in X\,|\,f(x)<\infty\}\subseteq \left\{x\in X\,\Big|\,\lim_{t\to\infty}f(x)\chi_{E_t}(x)=0\right\}.$$ Pero la integrabilidad de $f$ implica que el conjunto $G\equiv\{x\in X\,|\,f(x)=\infty\}$ tiene medida cero (en caso contrario, $\int f\,\mathrm d\mu\geq\int_G f\,\mathrm d\mu=\mu(G)\times\infty=\infty$ si $\mu(G)>0$ ). De ello se deduce que el conjunto $\{x\in X\,|\,f(x)<\infty\}$ tiene un complemento despreciable y también el conjunto $\{x\in X\,|\,\lim_{t\to\infty}f(x)\chi_{E_t}(x)=0\}$ .

Answer 2

Recordemos que

$$\int_X |f|\,d\mu= \sum_{n=0}^{\infty}\int_{F_n} |f|\,d\mu$$

donde $F_n =\{x\in X : n\le |f|<n+1$ .

Como la serie en el lado derecho converge, y como

$$n\mu(F_n)\le\int_{F_n}|f|\,d\mu$$

tenemos que

$$\lim_{n\to\infty} n\mu(F_n)\to 0.$$

Sin embargo, cuando $n\le t<n+1$ tenemos

$$E_t\subseteq \bigcup_{k=n}^\infty F_n=G_n$$

Pero entonces $\mu(G_n)$ es una suma absolutamente convergente de $o(n^{-1})$ funciones, por lo que es en sí mismo $o(n^{-1})$ y así

$$0\le \lim_{t\to\infty}t\mu(E_t)\le \lim_{n\to\infty} (n+1)\mu(E_t)\le\lim_{n\to\infty} (n+1)\mu(G_n)=0.$$