$L^1(\mathbb{R}^n)$ funciones no en $\mathcal{H}^1(\mathbb{R}^n)$

Question

Me pregunto cómo imaginar el espacio resistente y en particular, qué tipo de funciones son en $\mathcal{H}^1(\mathbb{R}^n)$ $L^1(\mathbb{R}^n)\backslash\mathcal{H}^1(\mathbb{R}^n)$. ¿Además, es posible encontrar ejemplos explícitos de funciones $\partial (L^1(\mathbb{R}^n)\backslash\mathcal{H}^1(\mathbb{R}^n))$?

$\mathcal{H}^p(\mathbb{R}^n)=L^p(\mathbb{R}^n)$ $p>1$, pero lo que es el "problema" y la diferencia cuando $p=1$ (¿o $p\leq 1)$?

¡Gracias!

Answer 1

Que $f(x) \in L^1(\mathbb R^n)$ $\int_{\mathbb R^n} f(x) \, dx = C \ne 0$ a satisfacer. Si usted está usando la máxima caracterización de $H^1$ y $$ Mf(x) := \sup_{r>0} \frac1{w_nr^n} \int_{y\in B(x,r)} f(y) \, dy \ge \frac1{2^nw_n|x|^n} \int_{B(x,2|x|)} f(y) \, dy \sim \frac C{|2x|^n} \text{ as $x \to \infty$}.$$ % aquí $w_n = |B(0,1)|$. Por lo tanto, $Mf \notin H^1$.

El problema es que el % de desigualdad $\|Mf\|_p \le c_p \|f\|_p$es true sólo si $p>1$.

También $\partial(L^1\setminus H^1) = L^1$ porque es denso en $L^1\setminus H^1$ $L^1$. Esto no es realmente una pregunta significativa, porque $L^1$ y $H^1$ tienen distintas topologías.