Aproximación

Question

Ahora, me ha dado esta integral. Y lo aproximado. Mi primera idea fue utilizar una serie de Taylor, pero esta serie explota, como x el infinito alcanza.

¿Alguien sabe cómo aproximar integrales incorrectos, (y esta en particular)?

Sé que puedo usar contorno de integración para evaluar exacto, pero quiero que estimarlo. Alguien mencionó algo acerca de una expansión de Taylor en el infinito, pero por desgracia no aprendí sobre esto.

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\text{d} x}{1 + x^4} $$

Answer 1

Una forma es dividir la gama de la integración en $x=1$ y usar la aproximación de la serie geométrica: $$\begin{eqnarray} \int_0^\infty \frac{\mathrm{d} x}{1+x^4} &=& \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{1+x^4} +\int_1^\infty \frac{\mathrm{d} x}{1+x^4} \stackrel{x -> 1/x \text{ in second}}{=} \\ &=& \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{1+x^4} +\int_0^1 \frac{x^2 \mathrm{d} x}{1+x^4} = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4}\mathrm{d} x \\ &=& \int_0^1 \left( 1+ x^2-x^4 - x^6+x^8 + \cdots\right) \mathrm{d}x \\ &=& 1 + \frac{1}{3}-\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \cdots = \frac{347}{315} + \cdots \end{eqnarray} $$ $347/315$ Es aproximadamente $1.10159$, mientras que la respuesta exacta es $\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11072$.

Answer 2

Bueno, $1+x^4 > x^4$ % grande $x$para elegir % $ $$\int_a^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx \leq \int_a^{\infty}\frac{1}{x^4}dx =\frac{1}{3a^3}.$$a$a ser lo suficientemente grande como para conseguir esta parte de la integral pequeño (digamos menos de $\varepsilon/2$). El integral restante de $0$ $a$ puede ser tratado con el uso de técnicas numéricas estándar.

Answer 3

Transformar su integral para han delimitado extremos. Aquí está una manera $$ \int{dx\over 1 + x ^ 4} = \int_0^{\pi/2}{\sec^2 (x) \, dx\over 1 + \tan^4(x)} = \int_0^{\pi/2} {\cos^2 (x) \, dx\over \cos^4(x) + \sin^4(x)}. $$ Este integral tiene un integrando acotada en un intervalo acotado. Hay una panoplia de formas de hacer esto; elegir el más inteligente es un arte.