Evaluar por métodos complejos
$$\int_0^{\pi} \frac{\sin^2 \theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)}\mathrm{d\theta}, \space 0<a<b<1$$
SIS.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta integral es $1/2$ integral $[0,2 \pi)$. Vamos $z=e^{i \theta}$, $d\theta = dz/(i z)$; el resultado es
$$\frac{1}{2 i}\oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \frac{-\frac{1}{4} (z^2-1)^2}{(a z^2-(1+a^2)z+a)(b z^2-(1+b^2)z+b)}$$
la cual puede escribirse como
$$\frac{i}{8} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \frac{(z^2-1)^2}{(a z-1)(z-a)(b z-1)(z-b)}$$
Hay 5 polos, aunque debido a $0<a<b<1$, sólo 3 de ellos caen dentro del contorno. Esta integral es, a continuación, $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de estos polos. Los residuos de estos polos son realmente sencillo:
$$\mathrm{Res}_{z=0}\frac{i}{8} \frac{(z^2-1)^2}{z(a z-1)(z-a)(b z-1)(z-b)} = \frac{i}{8 a b}$$ $$\mathrm{Res}_{z=a}\frac{i}{8} \frac{(z^2-1)^2}{z(a z-1)(z-a)(b z-1)(z-b)} = \frac{i}{8 a} \frac{a^2-1}{(a b-1)(a-b)}$$ $$\mathrm{Res}_{z=b}\frac{i}{8} \frac{(z^2-1)^2}{z(a z-1)(z-a)(b z-1)(z-b)} = -\frac{i}{8 b} \frac{b^2-1}{(a b-1)(a-b)}$$
Hay gran simplificación de la adición de estas piezas, que dejo para el lector. El resultado es
$$\int_0^{\pi} d\theta \frac{\sin^2 \theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)} = \frac{\pi}{2} \frac{1}{1-a b}$$
Cortizol
Puntos
2331
Bhubhu Hbuhdbus
Puntos
123
Usando las series presentadas por Cortizol, la integral puede ser escrita como: $$\int_0^{\pi} dx\left(\sum_{n=1}^{\infty} a^{n-1}\sin (nx)\right)\left(\sum_{m=1}^{\infty} b^{m-1}\sin (mx)\right)=\frac{1}{ab}\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} a^nb^m\int_0^{\pi} \sin(nx)\sin(mx)\,dx $ $ Observe que $n\ne m$, la integral es siempre cero, por lo tanto, miramos sólo aquellos casos en donde, es decir, de $n=m$ $$\frac{1}{ab}\sum_{n=1}^{\infty} (ab)^n\int_0^{\pi} \sin^2(nx)\,dx=\frac{\pi}{2ab}\sum_{n=1}^{\infty} (ab)^n=\boxed{\dfrac{\pi}{2}\dfrac{1}{1-ab}}$$ de $\blacksquare$%
