Don ' t entender lo que pide esta pregunta acerca de las soluciones de ecuaciones lineales.

Question

Si existe una solución para la ecuación lineal $A x = \left( \begin{array}{lll} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$, entonces existe una solución para $Ax = \left( \begin{array}{lll} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$.

Tengo una lista de declaraciones, y necesito para probar o refutarlos.

Aquí es un ejemplo de tal afirmación.

No entiendo el formato de la pregunta.

Sé un ejemplo contradictorio a la instrucción adjunto es una matriz cuadrada $3 \times 3$ % todo $1$'s. ¿Por qué?

Answer 1

Esto es lo que esta pregunta está pidiendo:

Supongamos que $A$ $3\times 3$ matriz tal que la ecuación $$Ax=\left[\matrix{1\\1\\1}\right]\tag{1}$$ has a solution; is it then necessarily true that the equation $$Ax=\left[\matrix{1\\2\\1}\right]\tag{2}$$ también tiene una solución?

La respuesta es no, porque cuando $$A=\left[\matrix{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\right]\;,$$ equation $(1)$ has a solution, but equation $(2)$ no.

$$\left[\matrix{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\right]\left[\matrix{1\\0\\0}\right]=\left[\matrix{1\\1\\1}\right]\;,$$ pero

$$\left[\matrix{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\right]\left[\matrix{x\\y\\z}\right]=\left[\matrix{x+y+z\\x+y+z\\x+y+z}\right]\;,$$ and no matter what $x,y$, and $z$ you choose, $$\left[\matrix{x+y+z\\x+y+z\\x+y+z}\right]\ne\left[\matrix{1\\2\\1}\right]\;,$$ debido a que todos los tres de sus componentes son los mismos.

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En general, si su pedido para probar o refutar una declaración de la forma $$\text{if }P\text{ is true then }Q\text{ is true}\;,$$ you first have to decide whether it is true: if the mathematical objects mentioned in the statement are chosen in such a way that $P$ is true, does that automatically make $P$ true as well? If the answer is yes, you'll need to find a reason, a logical argument leading from the truth of $P$ to the truth of $P$. Por ejemplo, supongamos que el enunciado es:

si el $3\times 3$ matriz $A$ es invertible, entonces la ecuación $$Ax=\left[\matrix{a\\b\\c}\right]$$ has a solution for every possible choice of real numbers $a,b,c$,

usted puede demostrar que es cierto por que apunta a la solución de $$x=Ix=(A^{-1}A)x=A^{-1}(Ax)=A^{-1}\left[\matrix{a\\b\\c}\right]\;.$$

Si la declaración no es siempre la verdad, su trabajo es de alguna manera más fácil: sólo tiene que demostrar un ejemplo en el que $P$ es verdadera y $Q$ no lo es. Eso es lo que hice en el ejemplo específico que se dio: la matriz $$A=\left[\matrix{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\right]$$ shows that equation $(1)$ can have a solution without $(2)$ también tener una solución.

Answer 2

A veces no está tan claro acerca de como deberían ser: $A$ es considerado un (específicos, fijo, constante) matriz de 3x3 y $\vec x$ es un vector de variables. Así que cuando dicen "Si existe una solución para la ecuación lineal...entonces..." que significan, si $A$ es algunos matriz de 3x3 para las que existe una $x$, lo $Ax = [1,1,1],$, entonces..."

Es sólo cierto si es siempre el caso. Ahora consideremos la matriz que se suministra, la matriz de todos los 1s. Observe que si dejamos $x_1,x_2,$ $x_3$ las entradas de $\vec x,$, entonces el cálculo de $A\vec x,$ obtenemos $x_1+x_2+x_3$ en cada entrada. Por lo tanto, si $x_1=x_2=x_3=1/3,$, por ejemplo, o si $x_1=1$ $x_2=x_3=0,$ $A\vec x=[1,1,1].$ Pero no importa lo que las entradas de $\vec x$, las entradas de $A\vec x$ siempre será igual, ya que son todos los $x_1+x_2+x_3.$ , con Lo que no hay ninguna solución $\vec x$ a de la ecuación de $A\vec x=[1,2,1].$