$G$ es abeliano si no tiene ningún elemento de orden $2$ y $(ab)^2=(ba)^2$

Question

Supongamos que $G$ es un grupo que no existe ningún elemento $x \neq e$ tal que $x^2=e$. Por otra parte, para cada $a,b \in G$ tenemos $(ab)^2=(ba)^2$. Demostrar que $G$ es Abelian.

Bueno, he intentado demostrar que $(aba^{-1}b^{-1})^2=e$ porque entonces si podía probar que implicaría $aba^{-1}b^{-1}=e$ que es el mismo que $ab=ba$. En otras palabras quería mostrar el orden de $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$ es de dos por cada $a$$b$$G$. Pasé casi una hora tratando de demostrar que nada de lo que vino a mi mente. Traté de fuerza bruta el problema por escrito cualquier ecuación posible que me podía venir, pero no pude :/

Alguna idea?

Answer 1

Conjunto de $b=a^{-1}x$. Tenemos $x^2=a^{-1}x^2a$, es decir $ax^2=x^2a$ % todos $x,a$. Puesto que todo el Grupo ejecuta $x^2$, $G$ es abeliano.

Corrección: Esta prueba es válida solamente para un grupo finito. Gracias a DonAntonio.

Adición: No estoy seguro de que esta afirmación es verdadera para infinitos grupos. Un candidato \for un contraejemplo es $G=\langle a,b|a^2=b^2, (ab)^2=(ba)^2\rangle$.

Answer 2

Edit: Andreas Caranti han señalado, esta prueba de trabajo iff todos los elementos del grupo finito de orden. De manera que no responde por completo, pero es más un resultado parcial.

Deje $x,a \in G$, luego por hipótesis tenemos que hay $b \in G$ tal que $ab=x$ $$a^{-1}x^2a=a^{-1}(ab)^2a=a^{-1}ababa=baba=(ba)^2=(ab)^2=x^2$$ Por lo $x^2 \in Z(G)$ todos los $x \in G$.

Por lo tanto obtenemos el cociente $G/Z(G)$ en el que todos los elementos de orden dos.

Si hay un $x \in G \setminus Z(G)$ $xZ(G) \ne Z(G)$ debe tener un orden $2$, y por las propiedades de la homomorphisms de grupos de la orden de $x$ debe ser dividida por $2$. Eso es absurdo, ya que por hipótesis de $G$ no tiene elementos de orden $2$ por lo tanto no puede tener cualquiera de los elementos que han pedido un múltiplo de $2$.

Answer 3

Elemental solución a este problema.

El problema es equivalente a que el $x^2 \in Z(G)$ para cualquier $x\in G$, como se indica en una respuesta anterior.

En estas condiciones nos muestran que $(xyx^{-1}y^{-1})^4=e.$ $$(xyx^{-1}y^{-1})^4=(xyx^{-1}y^{-1})^2(xyx^{-1}y^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})=$ $$$=(xyx^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})^2(y^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})=$ $$$= xy(x^{-1}x)(yx^{-1}y^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})(y^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})=$ $$$=xy^2(x^{-1}y^{-1})(xyx^{-1})(y^{-1})^2(xyx^{-1}y^{-1})=$ $$$=y^2(xx^{-1})(y^{-1}xy(y^{-1})^2)(xyx^{-1}y^{-1})=(yxy^{-1})(yx^{-1}y^{-1})=e.$ $ teniendo en cuenta que el grupo no tiene elementos de orden $ 2 $ resultado, paso a paso, que $(xyx^{-1}y^{-1})^2=e$, $(xyx^{-1}y^{-1})=e$ y $xy=yx$ y por lo tanto, el grupo es comutativa.