Prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz de Terry Tao ' notas de s, en el sentido de "cancelación de la fase"

Question

Hola estaba leyendo el Tao de la prueba de Cauchy-Schwarz desigualdad mediante la explotación de ciertas inherentes simetrías y haciendo algunas transformaciones. Él dice que primero usamos el hecho de que la norma es positiva, es decir,

$$\|u-v\|^2>0$$ to conclude that $\operatorname{Re} (\langle u,v\rangle) \leq \frac{1}{2}\|u\|^2+\frac{1}{2}\|v\|^2$, y, a continuación, afirma que hacemos una transformación $$v \mapsto ve^{\iota \theta}$$ y el lado derecho es claramente conservado en virtud de la transformación, mientras que el LHS cambios. Ahora él dice que debemos elegir un $\theta$ hacer el LHS tan alto como sea posible, tales que se cancela la fase de $\langle u,v\rangle$.

El resto de la prueba es clara. Pero no entiendo lo que él entiende por cancelación de la fase. Me refiero a la transformación es tal que $\operatorname{Re} (\langle u,v\rangle)e^{\iota \theta} \mapsto |\langle u,v\rangle|$ para el theta que cancela la fase y para este particular theta estamos especie de recuperación de la parte imaginaria del complejo escalar y, a continuación, tomar su longitud. Pero, ¿cómo funciona? Yo no lo entiendo. Gracias

Aquí está el enlace para su prueba.

Answer 1

Cancelación de la fase significa elegir $\theta$ así que $e^{i\theta}\langle u,v\rangle$ es real. Priori todos sabemos $\langle u,v\rangle$ es que es un número complejo $\langle u,v\rangle = re^{i\varphi}$, así que elegir $\theta = -\varphi$ (es decir, "cancelación de la fase" en este número complejo) hará $e^{i\theta}\langle u,v\rangle$ un número verdadero (no negativo). Esto optimiza la desigualdad porque $|\text{Re}(e^{i\theta}\langle u,v\rangle)| \leq |\langle u,v\rangle|$ y la igualdad sostiene precisamente cuando $e^{i\theta}\langle u,v\rangle$ es real.