¿Son todos los operadores desde $\ell_1$ o totalmente continuos?

Question

Que $E$ y $F$ ser dos espacios de Banach y que $T \in \mathcal{L}(E, F)$. Considera la siguiente propiedad (P).

Para cada secuencia convergente débilmente $(u_n)$ $E$, $u_n \rightharpoonup u$, entonces el $Tu_n \to Tu$ fuertemente en $F$.

Se supone que sea $E = \ell^1$ o $F = \ell^1$. ¿Satisface cada operador $T \in \mathcal{L}(E, F)$ (P)?

Ed. Aquí, nos indica que $\mathcal{L}(E, F)$ el espacio de continuo, es decir, limitada, los operadores lineales de $E$ $F$ equipado con la norma $$\|T\|_{\mathcal{L}(E, F)} = \sup_{x \in E,\,\|x\| \le 1} \|Tx\|.$ $

Answer 1

Los operadores con la propiedad que usted está interesado en son llamados completamente continuo. La respuesta en ambos casos es sí.

Cada débilmente convervent secuencia en la $\ell_1$ converge fuertemente, así que la respuesta es trivialmente sí si $E=\ell_1$. Supongamos ahora que $F=\ell_1$ y deje $(x_n)_{n=1}^\infty$ ser débilmente convergente secuencia en la $E$. Como $T$, siendo acotada, es débil a débil continua, $(Tx_n)_{n=1}^\infty$ es débilmente convergente, por lo tanto, también fuertemente convergentes.