Expresar, en términos de $I$% y $M$, el $R$-módulos $\mathrm{Hom}_R(R/I,M)$, $\mathrm{Hom}_R(M,R/I)$, $\mathrm{Hom}_R(I,M)$, $\mathrm{Hom}_R(M,I)$

Question

Deje $R$ ser un conmutativa unital anillo, $I$ un ideal de a $R$, e $M$ $R$- módulo. Se sabe que $R/I \otimes_R M \cong M/IM$. También, $\mathrm{Hom}_R(R,M)\cong M$.

¿Hay alguna fórmula similar para la $R$-módulo de $$I\otimes_RM,$$ perhaps $I\otimes_RM\cong IM$? Are there any formulas that express in terms of $I$ and $M$ the $R$-modules $$\mathrm{Hom}_R(R/I,M),\;\;\; \mathrm{Hom}_R(M,R/I),\;\;\; \mathrm{Hom}_R(I,M),\;\;\; \mathrm{Hom}_R(M,I)?$$

¿Y el caso especial $\mathrm{Hom}_R(R/I,R/J)$? Si no, ¿cómo hace uno para 'calcular' de esos módulos?

Por ejemplo, puede que los módulos $\mathrm{Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)$, $\mathrm{Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z})$, $\mathrm{Hom}_\mathbb{K[x]}(K[x]/(x^m),K[x]/(x^n))$ se expresa más bien (Eisenbud, Álgebra Conmutativa, p. 79, exc. 2.4)? Déjame adivinar, la primera es $0$ si $m\!\neq\!n$, e $\mathbb{Z}_m$ si $m\!=\!n$; el segundo es $0$. Pero me gustaría tener una fórmula más general.

Actualización: $Hom(M,A/B) \cong Hom(M,A)/Hom(M,B)$?

Actualización: $Hom(M/A,N/B) \ncong \{f\in Hom(M,N); f(A)\subseteq B\}$ en general. Por ejemplo,$A=M$$B=N$, el l.h.s. es $0$ e la r.h.s. es $Hom(M,N)$. La razón es que si $f(A)\subseteq B$$g(A)\subseteq B$$f|_A\neq g|_A$, $f=g$ en el l.h.s. y $f\neq g$ en la r.h.s..

Answer 1

No existe una respuesta general (ya que los otros mencionados), pero permítanme decir algo sobre el $\hom_R(I,M)$:

Una noción importante en álgebra homológica es el de la inyectiva módulos. Estos tienen la propiedad de que $\hom_R(-,M)$ mapas monomorphisms a epimorphisms. El criterio de Baer dice que es suficiente para probar esto para inclusiones de ideales, es decir, es suficiente verificar si $M \cong \hom_R(R,M) \to \hom_R(I,M)$ es surjective, es decir, si cada homomorphism $I \to M$ es de la forma $i \mapsto im$ algunos $m \in M$.

Es un buen ejercicio para mostrar la inyectividad de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$- módulo con la ayuda de este criterio. Y esto también muestra lo difícil que puede ser hacer describen $\hom_R(I,M)$ en general.

Al $I$ es un director ideal, decir $I = (f)$, $I \cong R/\mathrm{Ann}(f)$ $R$- módulos, de modo que no es fácil descripción. De manera más general, al $R$ es noetherian, una fórmula de Deligne dice que para los asociados cuasi-coherente módulo de $\tilde{M}$ sobre el esquema afín $\mathrm{Spec}(R)$ tenemos la fórmula $\Gamma(V(I)^c,\tilde{M}) = \mathrm{colim}_n \hom_R(I^n,M)$.

Answer 2

La pregunta en su actualización es falsa. Por ejemplo, considerar el % de grupos abelian $M = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, $A = \mathbf{Z}$ y $B = 2\mathbf{Z}$. Entonces $\operatorname{Hom}(M, A/B)$ tiene la identidad distinto de cero el mapa, pero $\operatorname{Hom}(M, A) = \operatorname{Hom}(M, B) = 0$ desde $A$ y $B$ ambos no tienen ninguna torsión 2.