Una forma cerrada para $\int_0^\infty\frac{e^{-x}\ J_0(x)\ \sin\left(x\,\sqrt[3]{2}\right)}{x}dx$

Question

Estoy atascado con este integral: $$\int_0^\infty\frac{e^{-x}\ J_0(x)\ \sin\left(x\,\sqrt[3]{2}\right)}{x}dx,$$ donde $J_0$ es la función de Bessel de primera especie.

Es posible expresar esta integral en forma cerrada (de preferencia, el uso de funciones elementales, funciones de Bessel, los enteros y las constantes básicas)?

Answer 1

Sugerencia: Use la fórmula $(79)$ a partir de este MathWorld página: $$J_0(z)=\frac1\pi\int_0^\pi e^{i\,z\cos\theta}\,d\theta$$ y, a continuación, cambie el orden de integración.

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Resultado: $$\int_0^\infty\frac{e^{-x}\ J_0(x)\ \sin\left(x\,\sqrt[3]2\right)}xdx=\arcsin\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]4+\sqrt[3]{16}}-\sqrt{2+\sqrt[3]4-\sqrt[3]{16}}}2$$