¿Por qué el operador x no está definido para x vector de vector?

Question

Para un espacio vectorial, el operador + mapas de dos vectores a otro vector, mientras que el × operador asigna un escalar y un vector a otro vector.

Para mí, parece extraño que los escalares son vistos como independientes a los vectores de la hora de definir un espacio vectorial, con la x operador creada especialmente para el mapa de un escalar y un vector de vectores.

¿Por qué no en lugar de la x operador mapa de dos vectores a otro vector mientras permanezcan consistentes con los escalares x vector de la operación?

Por ejemplo, $(a, b, c) × (d, e, f) = (ad, ae, af) + (bd, be, bf) + (cd, ce, cf)$ donde $ad$ escalas de $d$ por un factor de $a$; $bd$ gira a $d$ por un importe $b$ acerca de algún eje, $cd$ rota $d$ acerca de otro de los ejes por $c$.

De esta manera no habría necesidad de traer en un conjunto de escalares, proporcionando fue consistente.

Answer 1

El concepto de un espacio vectorial no es tanto definido como reconocido. Todo sobre las Matemáticas que hay conjuntos de cosas que tienen una adición natural, y natural de la multiplicación por números reales o complejos, pero no de forma natural para multiplicar dos cosas en conjunto para conseguir otra cosa en el conjunto. Una vez que usted ha visto lo suficiente de estas cosas, usted acepta que eso es lo que la Matemática está dando, y hacer que sus definiciones en consecuencia.

Las definiciones de uso común conducir a un gran número de conceptos útiles y resultados. Combinación lineal, span, lineal dependencia/independencia, base, dimensión, para empezar - ¿su propuesta de multiplicación de conducir a cualquiera de esos conceptos, o de cualquier otro de los conceptos ni la mitad de útil?