Demuestre que$x^2 + xy + y^2 \ge 0$ por contradicción

Question

Usando el hecho de que$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \ge 0$, demuestra que la asunción$x^2 + xy + y^2 < 0$ conduce a una contradicción ... Así que empiezo con ...

"Suponga que$x^2 + xy + y^2 <0$, entonces bla bla bla"?

Parece cierto ... porque entonces voy$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 + xy + y^2) \ge 0$. Se convierte en$2xy - xy \ge 0$, luego$xy \ge 0$. ¿Cómo es esto una contradicción? Creo que me falta algún punto clave.

Answer 1

Suponer que $x^2+xy+y^2<0$; entonces $x^2+2xy+y^2<xy$. Restando$(x+y)^2<xy$ de ambos lados de la desigualdad original, vemos que$3xy$, así que$x^2-2xy+y^2<-3xy$. Los cuadrados no son negativos, por lo que por un lado$(x-y)^2<-3xy$, y por otro lado$xy>0$ y por lo tanto$-3xy>0$.

Answer 2

Al completar el cuadrado,

ps

Answer 3

Suponga$x^2+xy+y^2<0$. Agregar y restar$xy$ en el lado izquierdo da$x^2+2xy+y^2-xy=(x+y)^2-xy<0$, y por lo tanto$0\leq(x+y)^2<xy$. Por el contrario,$x^2+xy+y^2<0$ implica$xy<-(x^2+y^2)\leq0$. Combinando éstos, tenemos una clara contradicción.

Answer 4

Asumiendo que todo en la imagen es un número real, has llegado a$xy\ge 0$, y así$x^2+xy+y^2\ge 0$. Esto contradice nuestro supuesto.

Answer 5

Otra forma de ver esto es la siguiente:

Suponga que$x^2+xy+y^2 <0$, entonces$xy<-x^2-y^2< 0$, por lo tanto$2xy<xy<-x^2-y^2$ y por lo tanto$x^2+2xy+y^2<0$, lo que es absurdo.