Demostrar que $\operatorname{cond}_2(A) \le n \cdot \operatorname{cond}_2(DAD)$

Question

Que la matriz $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ sea positiva definida con la diagonal unitaria. Sea la matriz $D \in \mathbb{C}^{n\times n}$ sea diagonal positiva definida. Demostrar que $$\operatorname{cond}_2(A) \le n\cdot \operatorname{cond}_2(DAD),$$ donde $\operatorname{cond}_2(A) = \|A\|_2\|A^{-1}\|_2$ .

Realmente no tengo ni idea de cómo probarlo. Sólo puedo proponer varias desigualdades adecuadas tales que $\|B\|_2^2 \le \|B\|_1\|B\|_\infty$ , $\|DAD\|_2 \le d_{\max}^2\|A\|_2$ , donde $d_{\max} = \|D\|_2$ es el elemento diagonal máximo de $D$ . Y $\|D^{-1}A^{-1}D^{-1}\|_2 \le \dfrac{1}{d_{\min}}\|A^{-1}\|_2$ Así que $\operatorname{cond}_2(D^{-1}AD^{-1}) \le \dfrac{d_{\min}}{d_{\max}} \operatorname{cond}_2(A)$ .

Gracias por cualquier ayuda o idea.

Answer 1

Idea en el siguiente truco

$||A||_2 = ||DD^{-1}AD^{-1}D|| \leq ||D^{-1}||^2_2 ~||DAD||_2$ $||A^{-1}||_2 = ||DD^{-1}A^{-1}D^{-1}D|| \leq ||D||^2_2 ~||D^{-1}A^{-1}D^{-1}||_2$

también utilizan $||A||_2 \leq ||A||_F = \sqrt{\sum|a_{ij}|^2}$ , para $D: ||D||_F \leq \sqrt{n}d_{max}$

pero deberías tratar con $d_{max}/d_{min}$ Puede que encuentres una forma mejor :) buena suerte

$cond_2(A) \leq ncond_2(DAD) d^2_{max}/d^2_{min}$