Problemas de resolución de ecuaciones que implican $x^{x^x...}$ ?

Question

Me encontré con este problema:

$x^{x^{x^{...}}}=2$

Obviamente, utilicé el truco de la sustitución y obtuve

$x^2=2$

y así, $x=\pm\sqrt{2}$ . He probado que esto funciona.

---

Sin embargo, intenté resolver

$x^{x^{x^{...}}}=4$

y da las mismas respuestas reales ( $x^4=4$ ). No tengo ni idea de a qué se debe esto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^{x^{x^{\vdots}}} = 4$ implica que $x^4 = 4$ pero no al revés.

Así que cualquier solución de la primera ecuación debe ser una solución de la segunda ecuación. Sin embargo, no todas las soluciones de la segunda ecuación serán soluciones de la primera, es decir, la segunda ecuación puede tener algunas soluciones extrañas.

Nota: Esto es similar a lo que ocurre en esta otra pregunta .

Answer 2

El tetración infinita $f(x)=x^{x^{x^\cdots}}$ sólo converge para $(1/e)^e \leq x \leq e^{e-1}$ y asume valores en $[1/e,e]$ . Así, la función inversa $f^{-1}(y)$ sólo se define para $y\in [1/e,e]$ . Así que la solución del primer ejemplo es $\sqrt{2}$ mientras que el segundo ejemplo no tiene solución (ya que $4>e$ ).