Encuentra el valor de a + b + c + d

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean las raíces de la ecuación: $x^2 - 10cx - 11d = 0$ donde $c$ y $d$ sean las raíces de $x^2 - 10ax - 11b = 0$ . Encuentre el valor de $a+b+c+d$ suponiendo que todos sean distintos.

Primero intenté hacer una ecuación con raíces $(a+b)$ y $(c+d)$ para obtener la suma de las raíces, sin embargo no pude resolver esta pregunta usando ese método ya que la respuesta que obtuve fue en términos de las propias variables.

También intenté colocar $a$ en la primera ecuación y $c$ en el segundo para anular un término común ( $-10ac$ ), pero después de cancelar, recibí: $(a^2 - c^2 - 11d + 11b = 0)$ . Ahora no sé cómo seguir adelante.

Answer 1

Mi solución ::

Dado $a,b$ son las raíces de $x^2-10cx-11d=0.$
Así que $$ a+b = 10c \tag{1}$$
y $$ab = -11d \tag{2} $$

y $c,d$ son las raíces de $x^2-10ax-11b=0.$ Así que $$c+d=10a\tag{3}$$
y $$cd=-11b \tag{4}$$

Así que $$a+b+c+d = 10(a+c). \tag{5}$$

Ahora $$\frac{a+b}{c+d} = \frac{10c}{10a}=\frac{c}{a}\Rightarrow a^2+ab=c^2+cd\Rightarrow a^2-11d=c^2-11b$$

Así que $$(a^2-c^2)=-11(b-d)\Rightarrow (a+c)\cdot(a-c)=-11(b-d) \tag{6}$$

Ahora $(1)-(3)$ obtenemos $$a+b-c-d=10c-10a\Rightarrow (b-d) = 11(c-a)=-11(a-c)$$

Ahora poniendo $(b-d) = -11(a-c)$ en la ecuación. $(6)$ obtenemos $$(a+c)\cdot(a-c)=121(a-c)$$

Así que $(a-c)\cdot(a+c-121) = 0$ . Ahora $a\neq c$ porque $a,b,c,d$ son números reales distintos. Así que $a+c=121$ . Poner en eqn. $(5)$ . Obtenemos $$ a+b+c+d = 10(a+c) = 10\cdot 121 = 1210\Rightarrow (a+b+c+d) = 1210. $$

Answer 2

Tenemos

$a+b=10c$ y $c+d=10a$ Por lo tanto

$$b=10c-a$$ y $$d=10a-c$$

También tenemos $ab=-11d$ y $cd=-11b$ Por lo tanto

$$10ac-a^2=-11(10a-c)$$ y $$10ac-c^2=-11(10c-a)$$ Al restarlos se obtiene $$a^2-c^2=-11(10c-a)+11(10a-c)=121(a-c)$$ Suponiendo que $a\not=c$ obtenemos $$a+c=121$$ Volviendo a las fórmulas de $b$ y $d$ tenemos $$b+d=(10c-a)+(10a-c)=9(a+c)$$ Así, $$a+b+c+d=(a+c)+(b+d)=(a+c)+9(a+c)=10(a+c)=1210$$