misterio sobre las series de potencia de $\frac{1}{\sqrt{1+x^{x}}}$

Question

Mientras jugaba con $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+n^{n}}}$ Utilicé w| para obtener la serie de potencias para $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{x}}}$

que es

\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1+x^{x}}} =& \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{x\log(x)}{4\sqrt{2}} -\frac{x^{2}\log^{2}(x)}{32\sqrt{2}}+ \frac{5x^{3}\log^{3}(x)}{384\sqrt{2}}\\\ \\\ &+ \frac{17x^{4}\log^{4}(x)}{6144\sqrt{2}} - \frac{121x^{5}\log^{5}(x)}{122880\sqrt{2}} - \frac{721x^{6}\log^{6}(x)}{2949120\sqrt{2}} \ldots \end{align*}

Antes de darme cuenta de que realmente no podía usar esto para ayudarme con la suma, descubrí que los denominadores (ignorando el $\sqrt{2}$ porque todas lo tienen en común) corresponden a $4^{n}n!$ lo desconcertante es que los numeradores parecen corresponder a los coeficientes de la función generadora exponencial de $f(x)=e^{\tanh^{-1}(\tan(x))}$ (Creo que la 7ª entrada debería ser 1369 y no 6845), y tengo curiosidad por saber cuál es la explicación, porque $f(x)=e^{\tanh^{-1}(\tan(x))}$ es una función de aspecto muy extraño.

Answer 1

Bien, $$\frac1{\sqrt{1+x^x}}=\frac1{\sqrt{1+e^y}}$$ donde $y=x\log x$ por lo que no es de extrañar que se obtenga una serie en términos de $y=x\log x$ . Entonces $$\frac1{\sqrt{1+e^y}}=\frac1{\sqrt2}\frac1{\sqrt{1+u}}$$ donde $u=\frac12(e^y-1)=o(y)$ . Esto explica el hecho de que los coeficientes son racionales sobre $\sqrt2$ .

Consideremos ahora $f(x)=\exp(\tanh^{-1}(\tan x))$ . Ahora $$\tanh z=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}$$ para que $$e^z=\sqrt{\frac{1+\tanh z}{1-\tanh z}}.$$ Por lo tanto, $$\exp(\tanh^{-1} t)=\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}.$$ Poner $t=\tan x$ da $$f(x)=\sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}}=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.$$ Entonces \begin{eqnarray*} &&(1+i)f(ix)+(1-i)f(-ix)\\ &=& 2\sum_{m=0}^\infty (a_{4m} x^{4m}-a_{4m+1} x^{4m+1}-a_{4m+2} x^{4m+2}+a_{4m+3} x^{4m+3}). \end{eqnarray*} Pero $$f(ix)=\sqrt{\frac{1+i\tanh x}{1-i\tanh x}} =\frac{1+i\tanh x}{\sqrt{1+\tanh^2x}}$$ y así \begin{eqnarray*} &&(1+i)f(ix)+(1-i)f(-ix)\\ &=& \frac{2-2\tanh x}{\sqrt{1+\tanh^2 x}} =\frac{2\cosh x-2\sinh x}{\sqrt{\cosh^2x+\sinh^2x}}\\ &=&\frac{2e^{-x}}{\sqrt{(e^{2x}+e^{-2x})/2}}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1+e^{4x}}} \end{eqnarray*} lo que explica que los coeficientes de las dos series sean los mismos hasta los signos y potencias de 4.

Answer 2

Es muy sencillo: $\rm\quad\quad f(x)\ =\ \cos x - \sin x \ =\ \frac{1+i}2 e^{ix} + \frac{1-i}2 e^{-ix}$

$\rm\quad\displaystyle \Rightarrow\quad\quad\quad\quad\ f(\tan^{-1} x)\ =\ \frac{1-x}{\sqrt{x^2+1}}\quad $ vía $\rm\displaystyle\quad e^{\:i\:tan^{-1} x}\ =\ \frac{1+ x\: i}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$\rm\quad\displaystyle \Rightarrow\quad f(\tan^{-1}\tanh x)\ =\ \ \frac{\sqrt 2}{e^{4x}+1}\quad\ $ vía $\rm\displaystyle\quad\ \tanh{x}\ =\ 1 - \frac{2}{e^{2x}+1}$