Encuentra el límite de $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{\tan x}$ .

Question

Encuentra el límite de $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{\tan x}$

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Evidentemente, como el límite tiene la forma de $\frac{0}{0}$ Hay que probar la regla de L'Hopital. Si aplicamos la regla de L'Hopital, el problema es que $\frac{d(\tan x)}{dx}=\cot x$ y $\cot(0)$ es indefinido. Por lo tanto, no podemos encontrar un límite utilizando la regla de L'Hopital.

Mi conjunto de problemas sugiere que esta pregunta puede responderse utilizando poco más que L'Hopital y el Teorema del Valor Medio de Cauchy. No estoy seguro de cómo proceder. Por favor, ayuda.

Answer 1

No, el derivado de $\tan x$ con respecto a $x$ es $\sec^2x$ no $\cot x$ . Pero no necesitas la regla de l'Hospital:

$$\frac{x}{\tan x}=\frac{x}{\sin x}\cdot\cos x\;,$$

y debe conocer los límites de ambos factores como $x\to 0$ .

Answer 2

Una pista: $\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1$ y $\dfrac{x}{\tan x} = \dfrac{x} {\sin x} \ \cos x$ .

Answer 3

Aviso

$$ \frac{x}{ \tan x} = \frac{ \cos x}{\sin x} x \to 1 \times 1 = 1 $$ como $x \to 0 $ desde $\frac{x }{\sin x} \to 1 $ como $x \to 0 $

Answer 4

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x} {\tan x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\cos x} {\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x} {\frac{\sin x}{x}}=1$

Answer 5

Espero que sepas que $(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=\sin x$ y diferenciar una fracción de funciones. Esto te será muy útil en tu vida académica: $$\frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x.\cos x-\sin x.(-\sin x)}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\sec^2x$$ Así que: $$\lim_{x\to0}\frac{x}{\tan x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sec^2x}=\frac{1}{1^2}=1$$