Tengo una pregunta muy básica. Quiero calcular el grado topológico del mapa $\phi: \mathbb{C}P^n \rightarrow \mathbb{C}P^n$ cartografía $(z_0:\dots:z_n)$ a $(z_0^d:\dots:z_n^d)$ que, si la vida no es desesperada, será $d$ . Estoy especialmente interesado en una prueba que utilice la Dualidad de Poincare y los números de intersección, pero también aprecio otras soluciones.
Lo que he intentado (y estoy especialmente en busca de una prueba a lo largo de estas líneas si por casualidad tienen alguna esperanza en absoluto, que todavía me estoy preguntando. Pero, de nuevo, otros también son bienvenidos) es el siguiente, pero necesitamos algunos antecedentes y notación (que es un poco exagerado tal vez, me disculpo si es difícil de leer) en primer lugar:
Tenemos que $$H^*(\mathbb{C}P^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha]/\alpha^{n+1},$$ donde $\alpha \in H^2(\mathbb{C}P^n;\mathbb{Z})$ puede tomarse como el Dual de Poincare de la clase homológica $[\mathbb{C}P^{n-1}] \in H_{2n-2}(\mathbb{C}P^n;\mathbb{Z}),$ representado por el submanifold $\mathbb{C}P^{n-1} \subseteq \mathbb{C}P^n$ y del mismo modo $\alpha^k=PD[\mathbb{C}P^{n-k}]$ representado por $\;\mathbb{C}P^{n-k} \subseteq \mathbb{C}P^n$ (con $\mathbb{C}P^0=pt$ ). Tenemos un isomorfismo canónico $$H^k(\mathbb{C}P^n;\mathbb{Z}) \simeq Hom(H_k(\mathbb{C}P^n;\mathbb{Z}),\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$$ dada por la evaluación en el generador $[\mathbb{C}P^k]$ . Tenemos que, bajo este isomorfismo, el elemento $\alpha^{k}=PD[\mathbb{C}P^{n-k}]$ es el dual Hom de $[\mathbb{C}P^k]$ ya que $$PD[\mathbb{C}P^{n-k}]([\mathbb{C}P^{k}])= PD[\mathbb{C}P^{n-k}]([\mathbb{C}P^{n}]\cap PD[\mathbb{C}P^{k}])=(PD[\mathbb{C}P^{k}]\cup PD[\mathbb{C}P^{n-k}])([\mathbb{C}P^{n}])=(\alpha^{n-k}\cup\alpha^k)([\mathbb{C}P^{n}])=PD[pt]([\mathbb{C}P^n])=1,$$
ya que esto último es el número de intersección $[pt].[\mathbb{C}P^{n}]$ de un punto y todo el espacio (es decir, lo anterior demuestra que el número de intersección $[\mathbb{C}P^{k}].[\mathbb{C}P^{n-k}]=1$ )
Ahora bien, por definición, para cualquier mapa $\phi: \mathbb{C}P^n\rightarrow\mathbb{C}P^n$ obtenemos $$\phi^*(\alpha^n)=\phi^*(\alpha)^n=\phi^*(PD[\mathbb{C}P^{n-1}])^n=deg\phi. \alpha^n$$
También, $$\phi^*(PD[\mathbb{C}P^{n-1}])([\mathbb{C}P^{1}])=PD[\mathbb{C}P^{n-1}](\phi_*([\mathbb{C}P^1]))=$$$$ =PD[\mathbb{C}P^{n-1}]([\phi(\mathbb{C}P^1)])=[\mathbb{C}P^{n-1}].[\phi(\mathbb{C}P^1)]$$
Entonces, si lo anterior no es una tontería, podríamos calcular este último número de intersección, y potenciar hasta el $n$ para obtener el título. En el caso que nos ocupa, si tomamos $$\mathbb{C}P^1=\{(z_0:z_1:0:\dots:0)\},\;\mathbb{C}P^{n-1}=\{(0:w_1:\dots:w_n)\}$$ tenemos que $$\phi(\mathbb{C}P^1)=\{(z_0^d:z_1^d:0:\dots:0)\}$$ se cruza con $\mathbb{C}P^{n-1}$ en el punto único $(0:1:0:\dots:0)$ y aquí empiezo a preguntarme si no habré metido la pata en algún sitio, pues a no ser que haya algo así como "se intersecan en un punto pero con multiplicidad" (que no creo, ya que los unos se suman con multiplicidad $\pm 1$ sobre puntos en la intersección, y en este contexto holomórfico se puede incluso eliminar el menos ya que las intersecciones son siempre positivas, por lo que literalmente miramos su cardinal), esto implicaría que $[\mathbb{C}P^{n-1}].[\phi(\mathbb{C}P^1)]=1$ y así $deg\phi=1$ que no tiene remedio. Además, sé que para hablar de número de intersección hay que tener intersección transversal (¿quizás es eso lo que falla aquí? No tengo ni idea de cómo saber si dos submanifolds dados así se intersecan transversalmente).
Agradezco cualquier ayuda, sobre todo si alguien me puede indicar alguna referencia. Gracias de antemano.
