¿Los productos infinitos son conmutativos?

Question

Mientras leía un libro de texto, me encontré con la siguiente prueba (para particiones enteras en partes Impares y partes distintas):

Los siguientes pasos se pueden justificar tomando productos finitos y pasando al límite:

$\begin{align} \frac{1}{1-q}\frac{1}{1-q^3}\frac{1}{1-q^5} \ldots &= \frac{1}{1-q}\frac{1-q^2}{1-q^2}\frac{1}{1-q^3}\frac{1-q^4}{1-q^4}\frac{1}{1-q^5}\frac{1-q^6}{1-q^6}\ldots\\ &= \frac{1-q^2}{1-q}\frac{1-q^4}{1-q^2}\frac{1-q^6}{1-q^3}\ldots\\ &= (1+q)(1+q^2)(1+q^3)\ldots \end{align}$

Estoy seguro de que el razonamiento anterior está bien, pero no puedo evitar tener un problema con la igualdad de la primera línea a la segunda.

Para mí, esto plantea la(s) siguiente(s) pregunta(s):

• ¿Los productos infinitos son conmutativos?
• Si no es así, ¿cómo se podría justificar la prueba anterior utilizando límites?

Answer 1

Se puede abordar este problema de dos maneras:

(i) Considere las expresiones que se producen $1\pm q^r$ como funciones analíticas de la variable compleja $q$ con $|q|\ll1$ . Utilizando el hecho de que $$\bigl|{\rm Log} (1+z)\bigr|<{3\over2}|z|\qquad\bigl(|z|<{1\over2})$$ uno puede reescribir sus identidades como identidades sobre series absolutamente convergentes. Se deduce que son verdaderas como identidades sobre ciertas funciones analíticas de $q$ .

(ii) Se puede trabajar en el ámbito ${\cal P}$ de serie de potencia formal (véase, por ejemplo, el primer capítulo de la obra de Henrici Análisis complejo aplicado y computacional, I ). Aquí ${1\over1-q}$ es una "abreviatura" de la serie $1+q+q^2+\ldots$ . Cualquier serie de este tipo es un elemento de buena fe de ${\cal P}$ y una suma o producto infinito de tales series converge a un límite $a_0+a_1 q+a_2q^2+\ldots$ si cada coeficiente individual $a_r$ puede calcularse en sólo un número finito de operaciones. Para ser exactos: Cuando $$a_0^{(n)}+a_1^{(n)} q+a_2^{(n)}q^2+a_3^{(n)}q^2+\ldots\qquad(n\geq1)$$ es una secuencia de tales series en ${\cal P}$ entonces esta secuencia converge a la serie $$b_0+b_1q+b_2q^2+b_3q^3+\ldots$$ en ${\cal P}$ si para cada $r\geq0$ hay un $n_0=n_0(r)$ tal que $$a_r^{(n)}=b_r\qquad\forall n\geq n_0\ .$$ Se ve fácilmente que este es el caso en sus fórmulas, ya que los sumandos o factores posteriores sólo implican potencias mayores de $q$ .