Dejemos que $V \subset \mathbb{A}^n$ sea una variedad afín, y $\varphi: V \to V$ un mapa birracional. ¿Existe un mapa biracional único $\varphi' : V' \to V'$ del cierre proyectivo $V' \subset \mathbb {P}^n$ de $V$ que está de acuerdo con $\varphi$ en $V \subset V'$ ?
Un mapa racional es una clase de equivalencia de morfismos $U \to V$ con $U \subset V$ abierto no vacío, donde dos son equivalentes si coinciden en la intersección de sus dominios.
Creo que la respuesta es afirmativa porque $V \subset V'$ es un subconjunto abierto no vacío bajo la incrustación habitual, y un mapa racional está determinado unívocamente por cualquier representante único.
Si $\varphi$ está dada localmente en coordenadas por funciones racionales, ¿cómo se calcula $\varphi'$ ? Estoy pensando que se pueden despejar los denominadores y homogeneizar para llegar a un mapa del cierre proyectivo dado localmente por polinomios homogéneos del mismo grado (que localmente da un morfismo ).
Si es necesario: Estoy más interesado en el caso $n=2$ donde $V$ es una curva $Z(f)$ para un irreducible $f$ Así que $V' = Z(f^*)$ donde $f^*$ es la homogeneización de $f$ .
