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Pregunta de probabilidad de puente

 Standard 52-card deck:
  suits: clubs (♣), diamonds (♦), hearts (♥) and spades (♠)
  each suit possible cards and their values being:A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,k

now 4 men pick the deck in turn. pick one card each time.
at last each one has 13 cards in hand.

The probability question is 
  <1> what is the probability for at least one men hold 13 cards of same suit.
  <2> what is the probability for only the first man hold 13 cards of same suit
 

Creo que el 1> en la mitad y pegado allí: 4 * 13! * 39! / 52 !, pero este número no es el resultado, creo que todavía tiene que ser dividido por un número, creo que el número es sólo las maneras de asignar 13 bolas igual a 52 cajas.

4voto

Marcus M Puntos 3270

He aquí el primero: Vamos a $A_1$ ser el caso de que el jugador 1 tiene 13 cartas del mismo palo, y definir $A_2$, $A_3$ y $A_4$ igualmente.

Entonces la probabilidad de que al menos un jugador tiene 13 cartas del mismo palo es \begin{align*} P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) &= \sum\limits_{i = 1}^4 P(A_i) - \sum\limits_{i \neq j} P(A_i \cap A_j) + \sum\limits_{i \neq j \neq k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) \\ &- P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4). \end{align*}

Esto es desde el principio de inclusión-exclusión. Por la simetría del problema, sabemos que $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4)$, y de manera similar a $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1 \cap A_3) =...$ y así sucesivamente. Esto nos permite escribir $$P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) = 4 P(A_1) - 6 P(A_1 \cap A_2) + 4 P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) - P(A_4).$$ Vamos a examinar cada término de forma individual:

  • $P(A_1)$: Reproductor $1$ debe tener todas las cartas del mismo palo, pero hay cuatro posibles demandas. Por lo tanto, hay cuatro manos (sin orden) que dan jugador 1 de la mano de todo un palo, ya que no son un total de $\binom{52}{13}$ manos el jugador 1 puede tener, obtenemos $$P(A_1) = \frac{4}{\binom{52}{13}} = \frac{4 \cdot 13! \cdot 39!}{52!}.$$

  • $P(A_1 \cup A_2)$: Tenemos $4$ opciones de traje para el jugador $1$'s de la mano, y $3$ opciones de traje para el jugador $2$'s de la mano después de elegir el traje para el jugador $1$. Reproductor $1$ $\binom{52}{13}$ total posible de las manos, y el jugador $2$ $\binom{39}{13}$ posibles manos después de elegir el reproductor $1$'s de la mano. Por lo tanto, obtenemos $$P(A_1 \cup A_2) = \frac{4\cdot 3}{\binom{52}{13}\cdot \binom{39}{13}} = \frac{4\cdot 3 \cdot 13! \cdot 13! \cdot 26!}{52!}.$$

  • $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$: Por la misma lógica, obtenemos $$P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = \frac{4\cdot 3 \cdot 2}{\binom{52}{13}\cdot \binom{39}{13}\cdot\binom{26}{13}} = \frac{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot (13!)^4}{52!}.$$

  • $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)$: Nota de que en la orden de 3 personas, y que todos tienen el mismo palo, todos de 4 personas debe. Por lo tanto, esta probabilidad es la misma que la anterior: $$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) = \frac{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot (13!)^4}{52!}.$$

Poniendo todo esto junto, obtenemos $$P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) = \frac{16\cdot 13! \cdot 39! - 72\cdot (13!)^2\cdot (26!) + 72\cdot (13!)^4}{52!}.$$

0voto

andy.gurin Puntos 1516

Permítanme avanzar paso a paso, dando fuller expresiones de lo necesario para mostrar la lógica.

  • P(cualquier jugador tiene una mano perfecta) $=\frac{4\binom{13}{13}}{\binom{52}{13}} = X$

  • P(cualquier particular dos jugadores tienen una mano perfecta) $=\frac{4\binom{13}{13}3\binom{13}{13}}{\binom{52}{13}\binom{39}{13}}= Y$

  • P(cualquiera de los tres jugadores tienen una mano perfecta) $=\frac{4\binom{13}{13}3\binom{13}{13}2\binom{13}{13}}{\binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13}}= Z$

  • P(todos los cuatro jugadores tienen una mano perfecta) $=Z$

    Vamos ahora el nombre de la $4$ jugadores de $A,B,C,D$, y (por supuesto !) usted se $A$

Parte uno

Ahora si $A$ tiene una mano perfecta, también estamos contando manos perfectas de dobles como $AB$ dos veces, y triplica como $ABC$ tres veces, etc, así que por la TARTA,

P(al menos una persona tiene una mano perfecta)
$=\binom41X -\binom42Y + \binom43Z - \binom44 Z$ que los rendimientos de
$\frac{18772910672458601}{745065802298455456100520000} = 2.519631234...e^-{11}$

Parte dos

En primer lugar, nos permiten trabajar con la probabilidad de que exactamente uno de la mano es perfecto.

Una vez más, utilizamos el PASTEL, pero hay una diferencia !
Tenemos que corregir para el doble recuento $2$ manos perfectas, pero cuando hacemos eso, nos han contado $3$ manos perfectas $\binom31 - 2\binom32 = -3$ veces, que tenemos que corregir, y así sucesivamente.

Por lo tanto la expresión adecuada de ahora es $4X - \binom21 6Y + \binom31 4Z - \binom41 Z$ que los rendimientos de
$=\frac{242753155112819}{9634471581445544690955000} = 2.519631233...e^{-11} $

Tenga en cuenta que los resultados coinciden con los citados por wolfram alpha

Pero aún no hemos terminado todavía. La anterior probabilidad de que exactamente uno de la mano es perfecto. La probabilidad de que sólo con la mano es perfecta voluntad de ser $\frac14$ de los de arriba.

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