Integral de$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}$

Question

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He confundido x con 3, pero no puedo obtener la respuesta adecuada que es

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Siempre obtengo$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}$ o$x = 3 \sec \theta \implies dx = 3 \sec\theta \tan\theta d\theta$ o alguna variación de eso, no puedo eliminarlos para obtener su respuesta.

Answer 1

Lo que debe terminar con es

$\sec\theta = \dfrac x3\quad$ Y$\quad\tan \theta = \dfrac{\sqrt{ x^2 - 9}}{3}$.

Entonces tienes$$\begin{align} \log \Big| \frac 13\left(x + \sqrt{x^2 - 9}\right)\Big| + C & = \log|x +\sqrt{x^2 - 9}| -\log 3 + C \\ \\ & = \log|x + \sqrt{x^2 - 9}| + C'\end{align}$ $

Answer 2

$\theta=arc\sec\frac{x}{3}\implies \sec\theta=\frac{x}{3}$ Y luego$\tan\theta=\frac{\sqrt{x^2-9}}{3}$ así, integral sería$\ln\left(\frac{x}{3}+\frac{\sqrt{x^2-9}}{3}\right)+c=\ln(x+\sqrt{x^2-9})+k(=-\ln 3+c)$