el valor de $e$ y el método para conseguirlo

Question

Definimos e como un número que satisface la siguiente condición

$$\lim _{a \to 0} \frac{e^a-1}{a}=1. $$

Cómo llegamos a lo siguiente a partir de la ecuación anterior

$$e=\lim _{n \to \infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n ? $$

para que obtengamos el valor de n

Answer 1

El enfoque que mencionas es difícil, pero posible. Lo he presentado en mi entrada del blog . Los principales pasos son los siguientes:

1) Definir $a^{b}$ (sin utilizar ningún registro o $e$ ) de forma rigurosa para $a > 0$ y cualquier $b$ .

2) Demuestre que $\lim_{a \to 0}\dfrac{x^{a} - 1}{a} = f(x)$ existe para todos los $x > 0$ y, por tanto, define una función de $x$ . Esta función se denomina $\log x$ y $e$ es entonces un número tal que $\log e = 1$ .

3) Con $\log x$ definido anteriormente tenemos las siguientes propiedades: $\log(xy) = \log x + \log y, \log 1 = 0, \log(1/x) = -\log x, \log(x^{y}) = y\log x$ .

4) $\lim_{x \to 0}\dfrac{\log(1 + x)}{x} = 1$

5) Poner $x = 1/n$ en el límite anterior y obtener $\lim_{n \to \infty}\log\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = 1$ y señalando que $\log e = 1$ obtenemos $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = e$ .

La prueba de 1), 2) y 4) es difícil, pero no demasiado.

Answer 2

Es más fácil partir de la primera ecuación y demostrar que es la misma que la segunda.

Desde $$L := \lim _{a \to 0} \frac{e^a-1}{a}$$ set $e^a - 1 = t$ para que $a = \ln(1 + t)$ : $$L = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)} = \lim_{t \to 0} \left(\frac{\ln(1 + t)}{t}\right)^{-1} = \lim_{t \to 0} \left(\ln\left[\left(1 + t\right)^{1/t}\right]\right)^{-1} = \left(\ln\left[\lim_{t \to 0} \left(1 + t\right)^{1/t}\right]\right)^{-1}$$

El último paso es legítimo porque ambos $1/x$ y $\ln x$ son funciones continuas. Ahora, recordando que $L = 1$ (de su primera ecuación) tenemos que $$\begin{align} \ln\left[\lim_{t \to 0}\left(1 + t\right)^{1/t}\right] &= 1\implies\\ \lim_{t \to 0}\left(1 + t\right)^{1/t} &= e \end{align}$$

O, lo que es lo mismo, con un último cambio de variable $$e=\lim _{x \to +\infty} \left(1+\frac1x\right)^x.$$