Probar o refutar:$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[-\frac{1}{n!},1+\frac{1}{2^{n}}\right]=\left \{ 1,2 \right \}$

Question

Demostrar o refutar: $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[-\frac{1}{n!},1+\frac{1}{2^{n}}\right]=\left \{ 1,2 \right \}$

Tengo problemas para la comprensión de los símbolos.

$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}$ es sinónimo de intersección, ¿verdad? Si es así, lo que en realidad es atravesada aquí?

Lo que se entiende por $\left[-\frac{1}{n!},1+\frac{1}{2^{n}}\right]$, especialmente por esos soportes?

Me parece que esto es un intervalo, a partir de $-\frac{1}{n!}$ va hasta las $1+\frac{1}{2^{n}}$.

¿Qué se entiende por $\left \{1,2 \right \}$? Este parece ser un conjunto, a la derecha?

Así que la cosa completa en palabras, es decir: la intersección del intervalo de $\left[-\frac{1}{n!},1+\frac{1}{2^{n}}\right]$ es igual al conjunto de $\left \{1,2 \right \}$, ¿es correcto?

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Yo lo solucione así:

Sabemos que $n\in\mathbb{N}$, lo que es muy importante la información.

A partir de $1$, me gustaría insertar varios valores de $n$ en el intervalo:

Para $-\frac{1}{n!}$ siempre vamos a tener números racionales negativos de lo que es malo (malo en el caso de que esto conducirá probablemente a una contradicción.

Para $1+\frac{1}{2^{n}}$ vamos a obtener los números racionales positivos, que está también mal.

Ya que no hay manera de conseguir incluso un único número natural positivo, nunca podremos llegar a el conjunto $\left \{1,2 \right \}$. Así que la declaración es incorrecta.

Espero que entiende la mayoría de las cosas correctamente?

Answer 1

Tu (en negrita) la afirmación no es del todo correcto.

En su lugar, lo que se está diciendo es que la intersección de la colección de intervalos de $\bigl[ - \frac{1}{n!}, 1 + \frac{1}{2^n} \bigl]$ ( $n \in \mathbb{N}$ ) es igual al conjunto de $\{1,2\}$. Quizás se podría entender la intersección mejor en un nivel intuitivo si usted escribió el primer par de intervalos que se intersecan, uno por uno: $$\bigl[ - \frac{1}{1!}, 1 + \frac{1}{2^1} \bigl] \,\, \cap \,\, \bigl[ - \frac{1}{2!}, 1 + \frac{1}{2^2} \bigl] \,\, \cap \,\, \bigl[ - \frac{1}{3!}, 1 + \frac{1}{2^3} \bigl] \,\, \cap \,\, \bigl[ - \frac{1}{4!}, 1 + \frac{1}{2^4} \bigl] \,\, \cap \,\, \cdots $$ Luego, puede simplificar la expresión, si lo desean, haciendo algunos aritmética: $$\bigl[ - 1, 1 + \frac{1}{2} \bigl] \,\, \cap \,\, \bigl[ - \frac{1}{2}, 1 + \frac{1}{4} \bigl] \,\, \cap \,\, \bigl[ - \frac{1}{6}, 1 + \frac{1}{8} \bigl] \,\, \cap \,\, \bigl[ - \frac{1}{24} , 1 + \frac{1}{16} \bigr] \,\, \cap \cdots $$ Así que, ahora, pregúntate a ti mismo, es el conjunto de todos los números de $x$ que es en esta intersección igual al conjunto $\{1,2\}$?

Answer 2

Contraejemplo para$n=1$:

ps

Answer 3

\begin{align} & {{A}_{1}}=\left[ -1\,,\frac{3}{2} \right] \\ & {{A}_{2}}=\left[ -\frac{1}{2}\,,\frac{5}{4} \right] \\ & {{A}_{3}}=\left[ -\frac{1}{6}\,,\frac{9}{8} \right] \\ & {{A}_{4}}=\left[ -\frac{1}{24}\,,\frac{17}{16} \right] \\ & \vdots \\ & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{A}_{n}}=[0,1] \\ \end {align} porque \begin{align} & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,-\frac{1}{n!}=0 \\ & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)=1 \\ \end {align}$$\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }{{{A}_{n}}}=[0,1]$ $