No soy más que un humilde estudiante de ingeniería eléctrica interesado en las matemáticas. Recientemente, he estado trabajando en la segunda edición de Stephen Abbott Entendiendo el análisis y me encontré con un problema del que no estoy del todo seguro, específicamente el problema 4.3.6, parte d, que dice:
Dé un ejemplo o explique por qué la solicitud es imposible: Una función $f(x)$ que no es continuo a 0 de tal manera que $f(x) + \frac {1}{f(x)}$ es continua a 0.
Ahora, siendo sumamente perezoso, mi instinto al principio fue decir, "seguro, considera la función $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definido por $$f(x) = \begin {cases} 1, & \text {if $ x=0 $} \\ 0, & \text {if $ x \neq 0 $} \end {cases}"$$ Entonces, mi razonamiento fue que la única manera en que podemos definir $g(x) = f(x) + \frac {1}{f(x)}$ es a través de la restricción de $f$ en el dominio $\{0\}$ . Así que, ya que el 0 es claramente un punto aislado en el dominio de $g$ se deduce que $g(x)$ debe ser continuo a 0.
¿Esta respuesta se ajusta al "espíritu" de la pregunta? ¿O sólo se me permite elegir un $f$ de tal manera que $g$ puede tener el mismo dominio que $f$ ? ¡Gracias por tu ayuda!
