¿Puedo romper este límite en términos individuales?

Question

$$\lim_{x\to \infty} {\frac{x}{x^2+1} +\frac{x}{x^2+2} + ... + \frac{x}{x^2+x} }$$

Parece obvio que el resultado es cero para cada término pero para romper el límite en sus piezas individuales debemos saber que existe límite de cada término.

Answer 1

No, no puede hacer esto. Este es un ejemplo más simple:

$$\lim_{n\to\infty} \frac1n + \frac1n + \cdots + \frac1n$$

donde hay $n$ términos en la suma. Si sumamos los términos, entonces por supuesto tenemos $\lim_{n\to\infty} 1 = 1$, aunque cada término va a $0$.

La clave es que crece el número de términos como $n$ tiende a infinito. Si hay un número fijo de términos, podría tomar la suma de los límites de los términos.

Answer 2

Incluso si hablamos de secuencias, no es posible tratar cada término por separado. El ejemplo muy simple es la secuencia $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)}_{n\text{ factors}}.$$ Each factor tends (separately) to $ 1$. Is it true that the limit is also $1$? No, this is $\text{e}$.

Answer 3

Tenga en cuenta que la serie de interés puede ser escrita como

$$\frac{x}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+2}+\cdots +\frac{x}{x^2+x}=\sum_{k=1}^x \frac{x}{x^2+k}$$

El sumando claramente satisface los límites

$$\frac{x}{x^2+x}\le\frac{x}{x^2+k}\le \frac{x}{x^2+1}$$

Por lo tanto, podemos afirmar

$$\frac{x^2}{x^2+x}\le \sum_{k=1}^x\frac{x}{x^2+k}\le \frac{x^2}{x^2+1}$$

por el uso del teorema del apretón rinde el codiciado límite

$$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+2}+\cdots +\frac{x}{x^2+x}\right)=1$$

Answer 4

Tenga en cuenta que cuando $x\to \infty:$ $$\frac{x}{x^2+k} \sim \frac{1}{x}, \ \ \ 1\le k \le x$ $Hence: $$L \sim \lim_{x\to\infty} x \cdot \frac{1}{x} = 1.$ $