Matrices Do $ AB $ y $ BA $ tienen los mismos polinomios mínimos y característicos?

Question

Dejemos que $ A, B $ sean dos matrices cuadradas de orden $n$ . Haga $ AB $ y $ BA $ tienen los mismos polinomios mínimos y característicos?

Sólo tengo una prueba si $ A$ o $ B $ es invertible. ¿Es cierto para todos los casos?

Answer 1

Para las matrices cuadradas, los polinomios característicos son los mismos, pero para $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ y $B$ una matriz de tamaño $n \times m$ tenemos $x^{m}C_{BA}(x)=x^{n}C_{AB}(x)$ . Esto implica que el valor propio no nulo de $AB$ , contados con multiplicidades, son iguales a los valores propios no nulos de $BA$ .

Es decir, si $A$ es de tamaño 7×4 y $B$ es de tamaño 4×7 y se supone que la matriz 4×4 $BA$ tiene valores propios no nulos 1,1,3 por lo que el cuarto valor propio de $BA$ es 0. Entonces la matriz 7×7 $AB$ también tendrá valores propios no nulos 1,1,3 y los cuatro valores propios restantes de $AB$ son cero.

Answer 2

Hay muchas pruebas para que los polinomios característicos sean iguales. Yo quiero aportar la mía. Puede ser más complicado, pero es menos "considerar el producto mágico de las matrices".

Dejemos que $\chi_M(x)$ denota un polinomio característico $\chi_M(x) = det(x - M)$

Probemos el hecho: Para cuadrado matrices $A$ y $B$ tiene $det(AB - x) = det(BA - x) \Leftrightarrow \chi_{AB}(x) = \chi_{BA}(x)$ .

Si $det(A) \neq 0$ entonces se deduce de $det(AB - x) = det(A^{-1}A)det(AB - x) = det(A^{-1})det(AB - x)det(A) = det(BA - x)$ .

Si $det(A) = 0$ hay un número finito de tales $s \in \mathbb R$ que $\chi_A(s)=0$ porque $\chi_A(s)$ es un polinomio de grado finito. Entonces hay un número infinito de tales $s$ que $\chi_A(s) \neq 0$ . Para todos estos $s$ sabemos $\chi_{(A-s)B}(x) = \chi_{B(A-s)}(x)$ como resultado de un caso anterior. Para cada $x$ vemos dos polinomios de grado finito ( $x$ es fijo, $s$ es variable) $\chi_{(A-s)B}(x)$ y $\chi_{B(A-s)}(x)$ que son iguales en infinidad de puntos. Entonces concluimos que son iguales en cada $s$ . En $s = 0$ obtenemos el resultado $\chi_{AB}(x) = \chi_{BA}(x)$ en cada $x$ .

Para las matrices cuadradas ya hemos terminado.

Dato clave (prueba abajo): Si $A$ es $m\times n$ , $B$ es $n\times m$ y $n \geq m$ entonces $\chi_{BA}(x) = \lambda^{n-m}\chi_{AB}(x)$ .

Considere $n\times n$ matrices $A' = \left(\dfrac{A}{0}\right)$ y $B' = (B\mid0)$ . Sólo ponemos cero filas y columnas para hacer matrices $n\times n$ .

Primero, $B'A' = BA \Rightarrow x - B'A' = x - BA \Rightarrow \chi_{B'A'}(x) = \chi_{BA}(x)$

Segundo, $A'$ y $B'$ son matrices cuadradas. Entonces, debido al hecho anterior, tenemos $\chi_{B'A'}(x) = \chi_{A'B'}(x)$ .

Tercero, $\chi_{A'B'}(x) = det(x - A'B') = det\begin{pmatrix}x - AB & 0 \\ 0 & \begin{matrix}x & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & x & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & x \\\end{matrix}\end{pmatrix} = det(x - AB)x^{n - m} = x^{n-m}\chi_{AB}(x)$

Así, vemos $\chi_{BA}(x) = \chi_{B'A'}(x) = \chi_{A'B'}(x) = x^{n-m}\chi_{AB}(x)$