Matrices Do $ AB $ y $ BA $ tienen los mismos polinomios mínimos y característicos?

Question

Dejemos que $ A, B $ sean dos matrices cuadradas de orden $n$ . Haga $ AB $ y $ BA $ tienen los mismos polinomios mínimos y característicos?

Sólo tengo una prueba si $ A$ o $ B $ es invertible. ¿Es cierto para todos los casos?

Answer 1

Antes de probar $AB$ y $BA$ tienen los mismos polinomios característicos demuestran que si $A_{m\times n}$ y $B_{n\times m} $ entonces los polinomios característicos de $AB$ y $BA$ satisfacer la siguiente declaración: $$x^n|xI_m-AB|=x^m|xI_n-BA|$$ Por lo tanto, es fácil concluir si $m=n$ entonces $AB$ y $BA$ tienen los mismos polinomios característicos.

Definir $$C = \begin{bmatrix} xI_m & A \\B & I_n \end{bmatrix},\ D = \begin{bmatrix} I_m & 0 \\-B & xI_n \end{bmatrix}.$$ Tenemos $$ \begin{align*} \det CD &= x^n|xI_m-AB|,\\ \det DC &= x^m|xI_n-BA|. \end{align*} $$ y sabemos $\det CD=\det DC$ si $m=n$ entonces $AB$ y $BA$ tienen los mismos polinomios característicos.

Answer 2

Si $A$ es invertible entonces $A^{-1}(AB)A= BA$ Así que $AB$ y $BA$ son similares, lo que implica (pero es más fuerte que) $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio mínimo y el mismo polinomio característico. Lo mismo ocurre si $B$ es invertible.

En general, a partir de la observación anterior, no es demasiado difícil demostrar que $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico, aunque el tipo de prueba podría depender del campo considerado para el coeficiente de sus matrices. Si las matrices están en $\mathcal{M}_n(\mathbb C)$ , se utiliza el hecho de que $\operatorname{GL}_n(\mathbb C)$ es denso en $\mathcal{M}_n(\mathbb C)$ y la continuidad de la función que mapea una matriz a su polinomio característico. Hay al menos otras 5 formas de proceder (especialmente para otro campo que no sea $\mathbb C$ ).

En general $AB$ y $BA$ no tienen el mismo polinomio mínimo. Dejaré que busques un poco un contraejemplo.

Answer 3

Una pista: Considere $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . ¿Qué se obtiene en ese caso?

Answer 4

Sí, $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico.

Datos básicos: $\det(A^T) = \det(A)$ , $\det(AB) = \det(A) \det(B)$

1. $A$ y $A^T$ comparten el mismo polinomio característico.

\begin{align*} \det(xI-A) = \det((xI-A)^T) = \det(xI-A^T) \end{align*}

2. Las matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Si $B = PAP^{-1}$ ,

\begin{align*} \det(xI - B) &= \det(xI - PAP^{-1}) \\ &= \det(P(xI - A)P^{-1}) \\ &= \det(P)\det(xI - A)\det(P^{-1}) \\ &= \det(xI - A) \end{align*}

3. Determinante de una matriz triangular en bloque:

\begin{align*} \det \begin{pmatrix}A & B \\0 & C\end{pmatrix} = \det(A) \det(C) \fin {align*}

Utilizando la multiplicación por bloques, verifique que $\begin{pmatrix}I & -A \\0 & I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}AB & 0 \\B & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\B & BA\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I & -A \\0 & I\end{pmatrix}$ .

Por lo tanto, las matrices $\begin{pmatrix}AB & 0 \\B & 0\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}0 & 0 \\B & BA\end{pmatrix}$ son similares y tienen el mismo polinomio característico.

\begin{align*} \det\left[x\begin{pmatrix}I & 0 \\0 & I\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}AB & 0 \\B & 0\end{pmatrix} \right] &= \det(xI - AB) \det(xI) \nd{align*} \begin{align*} \det\left[x\begin{pmatrix}I & 0 \\0 & I\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \\B & BA\end{pmatrix} \right] &= \det(xI) \det(xI - BA) \nd{align*}

Y ahí está.

Answer 5

No es cierto que sus polinomios característicos sean los mismos en el caso general. El mejor resultado en este sentido general es el siguiente.

Dejemos que $A\in\mathbb{F}^{m \times n}$ y que $B\in\mathbb{F}^{n \times m}$ y $AB$ , $BA$ con polinomios mínimos (sobre $\mathbb{F}$ ) $m_{AB}(x)$ y $m_{BA}(x)$ respectivamente. Entonces se cumple una de las siguientes condiciones:

$m_{AB}(x) = m_{BA}(x)$ o $m_{AB}(x) = x \cdot m_{BA}(x)$ o $x\cdot m_{AB}(x) = m_{BA}(x)$ .

Es fácil, sólo hay que utilizar el hecho de que $(BA)^k=B(AB)^{k-1}A$ .