¿Puedo discutir la monotonía de la siguiente función sin utilizar diferenciación?
$$f(x) = x + \frac{9}{x}$$
¿Alguien me podría ayudar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
JeanMarie
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196
Como $f$ es impar, basta considerar el caso de $x>0$.
Se puede comprobar de una manera sencilla que
$$f(x):=x+\dfrac{9}{x}=6 \cosh \left(\ln\left(\dfrac{x}{3}\right)\right).$$
Vamos a escribir esta igualdad como:
$$f(x)=g(\cosh(\ln(h(x)))) \ \ \ \text{where} \ g, \ h \ \ \text{resp. denote multiplication by} \ \ 6 \ \text{and} \ 1/3.$$
Dos casos:
para $x>3$ (donde $\ln(x/3)> 0$), $f$ es una composición de 4 funciones crecientes (porque el coseno hiperbólico se calcula en $> 0$ de los valores, por lo tanto es una función creciente.
para $0<x<3$ (donde $\ln(x/3)<0$), $f$ es una composición de tres funciones crecientes ( $g,h$ $\ln$ ) y una disminución de la función (cosh es la disminución en el $(-\infty,0)$), por lo tanto, $f$ una función decreciente.
La función es impar, por lo que es suficiente para considerar $x > 0$.
Tenemos %#% $ #%
Ahora, si $$f(y) - f(x)= (y-x)\left(1 - \frac{9}{xy}\right).$, entonces el $x < y \leq 3$, y esto muestra que el $xy < 9$. Así $f(y) - f(x) < 0$ es estrictamente decreciente en $f$.
Pero si $(0,3]$, entonces el $3 \leq x < y$, que $xy > 9$. Por lo tanto, $f(y) - f(x) > 0$ está aumentando terminantemente en $f$.
abyss.7
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130
Asumir que $y\geq x$. Luego de estudiar el signo de
$$f(y)-f(x)=(y-x)[1-9/xy]$$
El $(y-x)\geq0$. Así pues, todo lo importa es el signo de $1-9/xy$.
Esta desigualdad se puede resolver sin cálculo (infinitesimal)
$$1-9/xy\geq0$$
$$\frac{xy-9}{xy}\geq0$$
Ahora divide el plano en regiones utilizando lo dos ejes $x=0$, $y=0$ y el $xy=9$ de la hipérbola.
Professor Vector
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131
Es suficiente analizar el comportamiento de $x>0,$ porque el resto sigue de $f(-x)=-f(x).$observar $f(x)=6+(\sqrt{x}-3/\sqrt{x})^2.$ $\sqrt{x}-3/\sqrt{x}$ es negativo y creciente $x<3,$ hasta la Plaza (y $f(x)$) está disminuyendo. Para el $x\ge3,$ $\sqrt{x}-3/\sqrt{x}$ es no - negativa y creciente, así que la Plaza está creciendo.
The Bee's Knees
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9
Si $f$ es estrictamente creciente en un intervalo de $I$, entonces el $f(x)> f(y)$ $x,y\in I$ $x>y$.
Tenga en cuenta que $f$ está definido cuando $x=0$
\begin{align} f(x)-f(y)&=x-y+\frac{9}{x}-\frac{9}{y}\\ &=(x-y)\left(1-\frac{9}{xy}\right)\\ &=\frac{(x-y)\left(x-\frac{9}{y}\right)}{x}\\ \end {Alinee el}
$x>0$ $\displaystyle f(x)-f(3)=\frac{(x-3)^2}{x}\ge 0$, $(3,f(3))$ Y así es un mínimo local.
If $x>y\ge3$, $\displaystyle f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\frac{9}{xy}\right)>0$.
If $3\ge x>y>0$, $\displaystyle f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\frac{9}{xy}\right)<0$.
$x<0$ $\displaystyle f(x)-f(-3)=\frac{(x+3)^2}{x}\le 0$, $(-3,f(-3))$ Así que es un máximo local.
If $0>x>y\ge-3$, $\displaystyle f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\frac{9}{xy}\right)<0$.
If $-3\ge x>y$, $\displaystyle f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\frac{9}{xy}\right)>0$.
estrictamente creciente $f$ $(-\infty,-3]\cup[3,\infty)$.
$f$ es estrictamente decreciente en $[-3,0)\cup(0,3]$.
