¿Es soluciones $z$ $Im(z^z)=0$ densa en $\mathbb{C}$?

Question

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Más específicamente, decir $z$ es una solución de $Im(z^z)=0$ si existen números reales #% entero, #% y $\theta$ $r>0$ tal que $n$ y $$ r (\ln r \sin \theta + \theta \cos \theta) = \pi n $$ el lado izquierdo es $z=r e^{i\theta}$ de alguna sucursal de $Im(z \ln z)$ (no necesariamente uno principal).

¿Es el conjunto de tal $\ln z$ denso en $z$?

Answer 1

Sí, es denso. Fix $r > 0$ y deje $f(\theta) = r (\ln(r) \sin(\theta) + \theta \cos(\theta))$. Dado un intervalo de $\theta_0 < \theta < \theta_0 + \epsilon$, el mismo $z = r e^{i\theta}$ se obtiene cuando la sustitución de $\theta$ $\theta + 2 \pi m$ por entero positivo $m$. Pero $f(\theta + 2 \pi m) = f(\theta) + 2 r \pi m \cos(\theta)$ Como $\theta$ se ejecuta en el intervalo de $\theta_0 < \theta < \theta_0 + \epsilon$, $f(\theta)$ se ejecuta en un intervalo de algunos de longitud $\delta_1>0$, mientras que $2 r \pi \cos(\theta)$ se ejecuta en un intervalo de algunos de longitud $\delta_2 > 0$. Entonces $f(\theta) + 2 r \pi m \cos(\theta)$ corre sobre un intervalo de longitud de al menos $m \delta_2 - 2 \delta_1$. Si $m$ es lo suficientemente grande, esta longitud será mayor que $\pi$, por lo que se incluye un número entero múltiplo de $\pi$. Llegamos a la conclusión de que cada arco $r e^{i\theta}$, $\theta_0 < \theta < \theta_0 + \epsilon$ contiene las soluciones de $\text{Im}(z^z) = 0$.