El grupo diédrico $$ D_8 = \langle\ a,\ b \ \mid \ a^4,\ b^2,\ (ab)^2\ \rangle $$ tiene una involución central $c=a^2$ y una no central, $b$ .
Q. ¿Podemos incrustar $D_8$ en un grupo finito $G$ en el que $c$ y $b$ ¿se conjugan?
En realidad, para cualquier grupo finito $H$ dos elementos cualesquiera del mismo orden son conjugados en algún grupo finito mayor $G$ .
Prueba: Consideremos la incrustación en el grupo simétrico dada por la acción de permutación sobre los elementos de $H$ por multiplicación por la izquierda. Un elemento de orden $n$ tiene $|H|/n$ órbitas, todas de tamaño $n$ que determina de forma única la clase de conjugación.
¡Muy bonito! Otra prueba, menos explícita pero quizás más conceptual, es notar que el grupo universal en el que $b$ y $c$ son conjugados, es decir, la extensión HNN de $H$ conjugando $b$ y $c$ es virtualmente libre y, por tanto, residualmente finito.
Yo también habría pensado en el mismo argumento que el de Henry, que posiblemente sea útil si se quiere tener un límite superior razonable en el orden del grupo finito en el que obtenemos una incrustación.
En cuanto a su ejemplo concreto, el grupo diédrico de orden $8$ admite una incrustación en $S_4$ , a saber $$D_8 \simeq \langle (1 \, 2 \, 3 \, 4), \, (1 \, 3) \rangle.$$ El centro es generado por $(1 \, 3)(2 \, 4)$ y las involuciones restantes son $(2 \, 4)$ , $(1\, 2)(3 \,4)$ , $(1 \, 4)(2 \, 3)$ , $(1 \, 3)$ .
Entonces en $S_4$ la involución central de $D_4$ se conjuga con dos no centrales.
La encantadora respuesta de Will Sawin trata la cuestión con mucha mayor generalidad, pero para el caso concreto que nos ocupa, muchos textos de Teoría de Grupos Finitos ( por ejemplo Gorenstein (1968)) utilizan grupos con Sylow diédrico $2$ -subgrupos para ilustrar posibles patrones de fusión a través del teorema de fusión de Alperin. Discutiré las posibilidades en el caso de un grupo finito $G$ con un diedro Sylow $2$ -subgrupo $D$ de orden $8$ (es decir, con $8$ elementos). Hay tres posibilidades diferentes. Tenga en cuenta que $D$ tiene dos Klein diferentes $4$ -subgrupos $U$ y $V$ y que desde ${\rm Aut}(D)$ es un $2$ -grupo, tenemos $G = DC_{G}(D).$ Por un teorema de Burnside, $U$ y $V$ no son conjugados en $G$ (ya que ciertamente no son conjugados en $N_{G}(D)$ y ambos son normales en $D).$ Las tres posibilidades son:
$N_{G}(U)/C_{G}(U) \cong N_{G}(V)/C_{G}(V) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$ En este caso, $G$ tiene una normalidad $2$ -y las involuciones de $D$ son conjugados en $G$ si y sólo si ya están conjugados en $D.$
$N_{G}(U)/C_{G}(U) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $N_{G}(V)/C_{G}(V) \cong S_{3}.$ En este caso, $G$ no tiene un $2$ -pero tiene un subgrupo normal de índice $2.$ En este caso, todas las involuciones de $V$ se conjugan en $G,$ pero no todas las involuciones de $U$ son $G$ -conjugado. El ejemplo de $G = S_{4}$ de Francesco Polizzi da un ejemplo en el que esto ocurre.
$N_{G}(U)/C_{G}(U) \cong N_{G}(V)/C_{G}(V) \cong S_{3}.$ En este caso, $G$ no tiene ningún grupo de factores de orden $2$ y todos $5$ involuciones de $D$ son conjugados en $G$ . Los ejemplos de $G \cong A_{6}$ o $G \cong {\rm PSL}(2,7)$ son casos en los que esto ocurre (hay muchos más ejemplos, por supuesto).
Edición posterior: en relación con el intercambio en los comentarios entre @YCor y @Derek Holt : de este análisis se desprende que $S_{4}$ es el grupo más pequeño con un subgrupo $D_{8}$ tal que una involución no central de $D_{8}$ y una involución central de $D_{8}$ convirtiéndose en conjugado en el sobregrupo. También ${\rm PSL}(2,7)$ es el grupo más pequeño con un subgrupo $D_{8}$ cuyas involuciones son todas conjugadas en el sobregrupo.
(1) (esencialmente el comentario de HJRW a la respuesta de Will Sawin)
Dado un grupo finito $F$ y un isomorfismo $t$ entre dos subgrupos $A,B$ de $F$ el grupo universal en el que $A$ y $B$ son conjugados a través de $t$ , es decir, la extensión HNN $H$ de $(F,A,B,t)$ es virtualmente libre y, por tanto, residualmente finita. Por lo tanto, existe un cociente finito de $H$ en el que $F$ se mapea inyectivamente, y en este cociente $A$ y $B$ son efectivamente conjugados (por $t$ ). Esto se aplica en particular al caso en que $A,B$ son subgrupos cíclicos del mismo orden.
Por supuesto, este argumento, que parece algo inmediato a primera vista, es menos elemental que el dado por Will Sawin, ya que se basa en la finitud residual de las extensiones HNN de los grupos finitos.
(2) El argumento de Will se extiende a este escenario ( $F$ , $A$ , $B$ sin asumir $A,B$ cíclico. A saber, $A$ tiene dos acciones libres en $F$ uno de los cuales viene dado por $a\cdot g=ag$ el otro por $a\cdot g=t(a)g$ . Escribir $k=|F/A|$ , encontrar $k$ puntos $x_1,\dots,x_k$ uno en cada órbita de la primera acción, y $k$ puntos $y_1,\dots,y_k$ , una en cada órbita de la segunda acción. Entonces se extiende la asignación $x_i\mapsto y_i$ a una permutación $\sigma$ de $F$ por la asignación $\sigma(ax_i)=t(a)y_i$ . Esto está bien definido por la libertad de la acción. Entonces $$\sigma(abx_i)=t(ab)y_i=t(a)t(b)y_i=t(a)\sigma(bx_i)$$ para todos $a,b\in A$ y $i$ y por lo tanto $\sigma(ag)=t(a)\sigma(g)$ para todos $a\in A$ y $g\in F$ . En otras palabras, $\sigma\circ L_a=L_{t(a)}\circ \sigma$ . Así que en el grupo de permutación de $F$ , donde $F$ se identifica con su imagen mediante la multiplicación por la izquierda, el isomorfismo $t:A\to B$ se realiza por conjugación mediante $\sigma$ .
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Para hacer la pregunta menos básica, se puede preguntar si se puede conseguir $G$ para ser un grupo de 2.
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@YCor La respuesta parece ser que no. Demuéstralo por inducción en $|G|$ . Sea $N$ sea un subgrupo central de $G$ de orden $2$ . Si $N \le D_8$ entonces la respuesta es claramente no. En caso contrario, aplique la inducción a la imagen de $D_8$ en $G/N$ .
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@DerekHolt ¡gracias por la bonita y sencilla argumentación!