Problema de búsqueda Circular perro y gallina

Question

Imagine que hay un pato nadando en sentido antihorario en el borde de un estanque circular de radio $R$, y un perro (comenzando en el centro de la laguna) es de remo a coger que el perro está siempre apuntando hacia el ganso. Si la gallina está viajando a la velocidad de la $u$, ¿cuál es la velocidad mínima a la que el perro debe viajar para eventualmente alcanzar el ganso? ¿Cuál es la velocidad mínima necesaria para que el perro disfrute de la oca en el tiempo $\tau$?

He visto búsqueda de este tipo de problemas en mi sistema Dinámico de libros de texto (de hecho, esto es muy similar a uno) y nunca he tenido la suerte de problemas. He encontrado algunas soluciones en línea para ciertos problemas, pero tienden a explicar muy mal en mi opinión (para el registro, todas las soluciones que he visto circular en la búsqueda de problemas implican la introducción alternativo sistemas de coordenadas)

Mi intento:

Deje $x_d$ ser el vector de posición del perro, $x_g$ ser el vector de posición de la oca, y $v_d$ ser el vector de velocidad del perro.

Dibujo de un diagrama resulta evidente que, para cualquier velocidad de $||v_d||$ a tiempo fijo $t$, $\exists \lambda \in \mathbb{R}$ s.t.

$$x_d + \lambda v_d = x_g = (R \cos(u t/R), R \sin(ut/R))$$

Generalmente, $\lambda = \lambda(t)$, lo que hace que esto sea mucho más difícil, pero que son capaces de obtener dos ecuaciones diferenciales:

$$x_d' + \frac{x_d}{\lambda(t)} = \frac{R}{\lambda(t)} \cos(ut/R) $$

$$y_d' + \frac{y_d}{\lambda(t)} = \frac{R}{\lambda(t)} \sin(ut/R) $$

Que es de primer orden lineal de la educación a distancia, pero ni siquiera sé si el factor de integración $exp(\int \frac1{\lambda(t)} dt)$ existe, y mucho menos cómo encontrar $\lambda(t) $

Con el fin de atrapar la gallina, tendríamos $||x_d - x_g|| = 0$ algunos $t \in \mathbb {R} $.

Creo que el mínimo podría ocurrir cuando

$||x_d - x_g|| \ne 0 \space\space \forall t \in \mathbb {R} \space \text { with } \space \lim_{t \to \infty} ||x_d - x_g|| = 0$.

Como se ha mencionado, no estoy seguro de cómo me iba a encontrar $\lambda $ si es siquiera vale la pena presentar el problema (que originalmente se debaten tratando de multiplicadores de Lagrange o de dos tiempos para esta parte, pero no estoy seguro de cómo, si es posible).

Estoy abierto a ver a los métodos alternativos, así como ver si hay alguna manera de utilizar realmente mi proceso de pensamiento.

También soy consciente de que la búsqueda de problemas a menudo carecen de una solución cerrada, pero pensé que me gustaría probar mi mano, no obstante.

Answer 1

Podemos obtener una comprensión sencilla del problema si nos fijamos en el perro del camino en un marco que está girando hacia la izquierda con velocidad angular $\omega=u/R$ alrededor del centro del círculo. En tal marco el ganso está sentado todavía en $G=(R,0)$, mientras que la velocidad de perro $D$ se compone de dos contribución: $\vec{v_1}$, dirigidos a lo largo de $DG$ y de magnitud fija $v$, e $\vec{v_2}$, debido a la estructura de rotación, en sentido perpendicular a la línea de $OD$ y de magnitud $\omega d$ donde $d=OD$ es la distancia del perro desde el centro.

Entonces, uno puede escribir a la vez un par de junto ecuación diferencial para la posición $(x(t),y(t))$ de los perros. Para mantener lo más simple posible me convenientemente establecer la unidad de medida, de modo que $R=1$: $$ \begin{align} & x'(t)=\frac{(1-x)}{\sqrt{(1-x)^2+y^2}}v+\omega y,\\ &y'(t)=-\frac{y}{\sqrt{(1-x)^2+y^2}}v-\omega x\\ \end{align} $$ Observe que estos son invariantes bajo la escala $(v,\omega,t)\to(kv,k\omega,t/k)$, por lo que la forma de perro del camino sólo depende de la relación de $v/\omega$, como uno podría esperar.

Si el perro llega a un punto donde $\vec{v_1}=-\vec{v_2}$, entonces se queda ahí para siempre. Que pasa si $\omega d=v$$d=v/\omega$, y si al mismo tiempo $OD\perp DG$, que es el si $D$ pertenece al círculo de diámetro $OG$ (ver foto de abajo). Un simple razonamiento geométrico permite entonces, para calcular las coordenadas de este punto de detener: $x=v^2/\omega^2$, $y=-(v/\omega)\sqrt{1-v^2/\omega^2}$.

Traté de obtener una solución exacta de las anteriores ecuaciones diferenciales con Mathematica, pero fue en vano. Pero se puede resolver numéricamente: he trazado la resultante del perro ruta para diez valores de$v/\omega$, $0.1$ $1$(imagen de abajo). En cualquier caso, la ruta alcanza asintóticamente el correspondiente punto de detener. Para valores pequeños de a $v/\omega$, esto se produce después de un largo espiral a su alrededor. Para valores cercanos a $1$ no hay espiral.

Como uno podría esperar, por $v/\omega<1$ el perro no coger el ganso. Para $v/\omega>1$ perro del camino es muy similar a la que se muestra arriba para $v/\omega=1$, y las soluciones numéricas muestran que el perro llega a la $G$ en un tiempo finito (que es bastante obvio). Para $v/\omega=1$ espero que el perro no llega en un tiempo finito, pero que es difícil decir a partir de una solución numérica.

En ese caso, podemos intentar calcular directamente el tiempo tomado por el perro para atrapar la gallina, basado en la evidencia de que la última parte de los perros del camino, para $v/\omega=1$, está muy cerca de la parada de los puntos del círculo. Si $s$ es la distancia $DG$, sabemos que a partir de la discusión anterior que si $D$ es en ese círculo, a continuación, el perro de la velocidad está dirigida a $G$ y su magnitud está dada por $v-\omega d=v\big(1-\sqrt{1-s^2}\big)$. De ello se sigue que $$ {ds\más de dt}=-v\big(1-\sqrt{1-s^2}\big), $$ y el tiempo de $t_0$ tomar para viajar un largo final $s_0$ es entonces $$ t_0=\int_0^{t_0}dt=-{1\over v}\int_{s_0}^0{ds\\big(1-\sqrt{1-s^2}\big)}. $$ Pero la última integral es divergente, por lo que podemos concluir con seguridad que si $v/\omega=1$ el perro no coger el ganso.

EDIT.

Las ecuaciones de movimiento se vuelven particularmente simple si se reescribe en coordenadas polares centrado en $G=(1,0)$. Definición: $$ 1-x=r\cos\theta,\quad -y=r\sin\theta, $$ obtenemos: $$ \begin{align} &{dr\over dt}=-v+\omega\sin\theta,\\ &{d\theta\over dt}=-\omega +{\omega\over r}\cos\theta.\\ \end{align} $$ Dividiendo la primera ecuación por la segunda, se obtiene una ecuación única para la ruta: $$ {dr\sobre d\theta}={c-\sin\theta\más de 1-(1/r)\cos\theta}, \quad\hbox{donde:}\quad c={v\\omega}. $$ Esta ecuación, con la condición inicial $r(0)=1$, da perro de la ruta de acceso en el marco giratorio.