Demostrar que la suma $$\sum_{k=0}^{3^n-1}\binom{2k}{k}$$ is divisible by $3 ^ n$. Uso de identidad de Vandermonde. Así que $$ \binom{2k}{k} = \sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}^2 $$.
Cualquier sugerencias o soluciones son muy apreciadas.
Respuesta
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Desde $\binom{2k}{k}=[x^0](x+x^{-1})^{2k}$ tenemos
$$ \sum_{k=0}^{3^n-1}\binom{2k}{k} = [x^0]\sum_{k=0}^{3^n-1}(x+x^{-1})^k = [x^0]\frac{(x+x^{-1})^{3^n}-1}{(x+x^{-1})-1}=\text{Res}\left(\frac{(z+z^{-1})^{3^n}-1}{z^2-z+1},z=0\right)$ $ pero realmente $\text{Res}\left(\frac{z^m}{z^2-z+1},z=0\right)$ tiene un comportamiento bastante simple. Es igual a cero para cualquier entero no negativo $m$ y para cada $m\in3\mathbb{Z}$, $1$ para cada % negativo $m\in 6\mathbb{Z}+\{4,5\}$y $-1$ para cada negativa $m\in 6\mathbb{Z}+\{1,2\}$. Pueden sacar conclusiones interesantes de expansión $(z+z^{-1})^{3^n}$ por el teorema del binomio y teniendo en cuenta que $\binom{3^n}{h}$, para cualquier no negativo $h\not\in 3\mathbb{Z}$, está dividida por una gran potencia de $3$.
