¿Qué $z$ es $z^{z}$ un número real? Todos los números reales, enteros negativos números, $i^{i}$, pero, ¿qué más?
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Matthew Scouten
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2518
La definición general de $z^z$ complejas $z \ne 0$$z^z = \exp(z \log z)$, el uso de cualquier rama del logaritmo (por lo tanto esta es una función de varios valores; usted podría preferir por ejemplo, la rama principal, donde $-\pi < \text{Im}(\log z) \le \pi$). A continuación, $z^z$ es real si, y sólo si $\text{Im}(z \log z)$ es un múltiplo entero de $\pi$. Cada múltiplo entero de $\pi$ corresponderá a una curva en el plano complejo. Aquí es parte de la unión de estas curvas, en el caso de la rama principal.
eyeballfrog
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1
Esto se analiza con más facilidad utilizando $z^z = \exp(z\ln z)$. Si $z = re^{i\theta}$, luego $$ z\ln z = r(\cos\theta + \sin\theta)(\ln r + i\theta) = r(\ln r\cos\theta \theta\sin\theta) + ir(\ln r\sin\theta + \theta\cos\theta). $$ $z^z$ será puramente real, siempre que la parte imaginaria de esta cantidad es un número entero múltiplo de $\pi$. Es decir, $$ r(\ln r \sin\theta + \theta\cos\theta) = n\pi \;\;\;\; n\in \mathbb Z. $$ Veamos algunos ejemplos
- Si $z$ es real y positivo, $\theta = 0$, y el lado izquierdo es también cero, claramente la satisfacción de la restricción.
- Si z es real y negativo, $\theta = \pi$. Esto le da a $r\pi = n\pi$, por lo que sólo enteros negativos trabajo.
- Si z es puramente imaginario, $\theta = \pm \pi/2$. Esto le da a $\pm r\ln r = n\pi$. Este tiene un número infinito de soluciones, comenzando con $r = 1$ ($z = \pm i$)
En general, vemos que para la mayoría de las $\theta$ de los valores, no es una secuencia infinita de $r$ valores por los que $z^z$ es real. La excepción es $\theta = 0$, donde todos los $r$ valores de rendimiento puramente real $z^z$. Realmente no hay una buena fórmula explícita para que estos, a pesar de que, como por lo general requiere la solución de una ecuación trascendental.
dantopa
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Problema y solución
La función compleja de un número complejo $$ f(z) = z^{z} \etiqueta{1} $$ es real cuando $$ \text{Im }z^{z} = 0. $$
Solución detallada
El contorno por debajo de la marca de las regiones donde el Im $f=0$
La forma funcional para la solución de la siguiente manera. $$ \text{Im } f = \left(x^2+y^2\right)^{x/2} e^{-i \arctan \frac{y}{x}} \underbrace{\sin \left(\frac{1}{2} y \log \left(x^2+y^2\right)+x \arctan \frac{y}{x}\right)}_{\text{encontrar raíces}} $$ Tendremos $\text{Im } f=0$ cuando la condición sine plazo es $0$: $$ \frac{1}{2} y \log \left(x^2+y^2\right)+x \arctan \frac{y}{x} = k \pi, \qquad k \in \mathbb{Z} $$
Ejemplo
Encontrar un punto a lo largo de la curva de $y=x$ correspondiente al argumento de la función seno ser igual a $6\pi$. Resolver $$ \frac{x}{4} \left( \pi + 2 \ln \left(2 x^2\right) \right) = 6\pi $$ El resultado es $$ \frac{6 \pi }{W} {\left(6 \sqrt{2} e^{\pi /4} \pi \right)} \approx 6.33086 $$ donde $W$ es la función W de Lambert (también conocido como el logaritmo del producto o omega funciones). Ver Wikipedia, MathWorld, y el Wolfram Funciones del sitio.
El punto negro en la figura a continuación es $$ p= 6.330860933664315 \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] $$ El uso de $(1)$, $$ f(6.330860933664315(1+i)) = 7369.19 $$ Observe cuán sensible es la solución a la perturbación $$ f(6.3309(1+i)) = 7369.88\, +1.14515 yo $$
@Robert Israel ha vencido a mí para que suene el timbre. Tenga en cuenta que mi exclusión de los números enteros negativos al $y=0$ es debido a la rama de corte.
Nilan
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5798
Para cualquier número complejo de cero $z=re^{i\theta},$ el logaritmo $\log (z)=\ln r+i\theta$ es una función multi-valued como $\theta=\arg z$ no es único.
Para cualquier número complejo $w$ la exponenciación $z^w$ es definido como $e^{w\log z}$ y $\log (z)$ puede tener infinitamente muchos valores diferentes, así que hace $z^w,$ a menos que $w\in\Bbb{Q}.$
Entre estas posibilidades infinitamente muchos algunos de ellos pueden real. $$z^z=e^{r(\cos\theta+i\sin\theta)(\ln r+i\theta)}.$$ Thus $\Im(z^z) =0$ for ome argument $\theta,$ then the corresponding exponential $z^z\in\Bbb {R}. $
Jaideep Khare
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Que $z=re^{i \theta}=x+iy$
$$z^z=r^z\exp ({i \theta \cdot z})=r^{\exp (x+iy)} \exp({-y \theta+x i \theta})=\underbrace {r^{\exp(x)} \exp({-y \theta})}_{Real} \cdot r^{\exp(iy)}\exp({x i \theta})$$
Así que todo lo que necesitamos es $\exp ({x i \theta}) \cdot r^{\exp({iy})}$ para ser real. Tenga en cuenta que $x=r \cos \theta \, ,y = r \sin \theta.$
Consejo adicional: $e^{i \alpha}$ para ser real, tenemos posibilidad de siguientes sólo -$$\alpha =k\pi \,; k \in \mathbb Z$ $
